微分方程和洛必达运算的结合

一、题目

难度评级：

二、解析

思考过程

求解过程

根据题目，我们知道：

$$\underset{x\to 0}{lim}y(x)=y(0)=0$$

$$\underset{x\to 0}{lim}{y}^{\prime }(0)=y^{\prime }(0)=0$$

又因为：

$$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y={\mathrm{e}}^{3x}\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }={\mathrm{e}}^{3x}–2y^{\prime }–y$$

所以：

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{lim}{y}^{\prime \prime }(x)\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}[{\mathrm{e}}^{3x}–2y^{\prime }(x)-y(x)]\\ \\ & =1-0–0\\ \\ & =1\end{array}$$

至此，我们已经有了 $\underset{x\to 0}{lim}y(x)$, $\underset{x\to 0}{lim}{y}^{\prime }(x)$ 和 $\underset{x\to 0}{lim}{y}^{\prime \prime }(x)$ 的值了，可以尝试构造式子并进行洛必达运算。

对于 (A) 选项：

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x^2}{y(x)}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2}{y(x)}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x}{y^{\prime }(x)}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{2}{y^{\prime \prime }(x)}\\ \\ & =\frac{2}{1}=2\ne 1\end{array}$$

于是可排除 (A) 选项。

对于 (B) 选项：

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{y(x)}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{y(x)}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{y^{\prime }(x)}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{0}{y^{\prime \prime }(x)}\\ \\ & =\frac{0}{1}=0\ne 1\end{array}$$

于是可排除 (B) 选项。

对于 (C) 选项：

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln \sqrt{1+x^2}}{y(x)}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{2}\ln (1+x^2)}{y(x)}\\ \\ & =\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2}{y(x)}\\ \\ & =\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x}{y^{\prime }(x)}\\ \\ & =\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{lim}\frac{2}{y^{\prime \prime }(x)}\\ \\ & =\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\mathbf{2}\mathbf{=}\mathbf{1}\end{array}$$

于是可知，(C) 选项正确。

对于 (D) 选项：

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x^2)}{y(x)}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2}{y(x)}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x}{y^{\prime }(x)}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{2}{y^{\prime \prime }(x)}\\ \\ & =2\ne 1\end{array}$$

于是可排除 (D) 选项。

综上可知，本 题 应 选 C