一、题目
已知 $y$ $=$ $y(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $2 y^{\prime}$ $+$ $y$ $=$ $\mathrm{e}^{3 x}$ 的解, 且满足 $y(0)$ $=$ $y^{\prime}(0)$ $=$ $0$.
则当 $x \rightarrow 0$时, 与 $y(x)$ 为等价无穷小的是 ( )
(A). $\sin x^{2}$
(B). $\sin x$
(C). $\ln \sqrt{1+x^{2}}$
(D). $\ln \left(1+x^{2}\right)$
难度评级：
二、解析 
思考过程
本题给出了 $y(x)$ 的微分方程，以及一些已知条件，并让我们判断 $x \rightarrow 0$ 的时候，$y(x)$ 的无穷小阶数。
本题的其中一种解法就是直接利用微分方程的求解公式求解出 $y(x)$, 但这个过程非常繁杂，更适用于简答题的求解。本题是一个选择题，我们可以合理的利用选项完成求解。
要判断一个式子和另一个式子是否是等价无穷小，我们可以构造分式，然后进行洛必达运算，如果最后得到的极限值是 $1$, 那么，这两个式子就是等价无穷小。
而在进行洛必达运算的时候，就会产生 $y(x)$ 的一阶导 $y^{\prime}(x)$ 和二阶导 $y^{\prime \prime}(x)$ 等，而这些恰恰是题目已知的微分方程中包含在内的。所以，我们可以考虑使用洛必达运算。
此外，需要注意的是，通过下面的求解过程我们可知道 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} y(x)$ $=$ $0$, $\lim \limits_{x \rightarrow 0} y^{\prime}(x)$ $=$ $0$, $\lim \limits_{x \rightarrow 0} y^{\prime \prime}(x)$ $\neq$ $0$, 因此，无论我们将 $y(x)$ 作为构造分式的分子还是分母，如果要确定一个选项中的式子是 $y(x)$ 的等价无穷小，需要至少做两次洛必达运算才可以完成判断，因为，只有 $y(x)$ 的二阶导不等于零。
求解过程
根据题目，我们知道：
$$
\textcolor{springgreen}{\lim \limits_{x \rightarrow 0} y(x)} = y(0) = \textcolor{springgreen}{0}
$$
$$
\textcolor{springgreen}{\lim \limits_{x \rightarrow 0} y^{\prime}(0)} = y^{\prime}(0) = \textcolor{springgreen}{0}
$$
又因为：
$$
y^{\prime \prime} + 2 y^{\prime} + y = \mathrm{e}^{3 x} \Rightarrow
$$
$$
y^{\prime \prime} = \mathrm{e}^{3 x} – 2 y^{\prime} – y
$$
所以：
$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{\lim \limits_{x \rightarrow 0} y^{\prime \prime}(x)} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left[\mathrm{e}^{3x} – 2 y^{\prime}(x)-y(x)\right] \\ \\
& = 1- 0 – 0 \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{1}
\end{aligned}
$$
至此，我们已经有了 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} y(x)$, $\lim \limits_{x \rightarrow 0} y^{\prime}(x)$ 和 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} y^{\prime \prime}(x)$ 的值了，可以尝试构造式子并进行洛必达运算。
对于 (A) 选项：
$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x^{2}}{y(x)} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{y(x)} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2x}{y^{\prime}(x)} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2}{y^{\prime \prime}(x)} \\ \\
& = \frac{2}{1} = \textcolor{orangered}{2 \neq 1}
\end{aligned}
$$
于是可排除 (A) 选项。
对于 (B) 选项：
$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{y(x)} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x}{y(x)} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{y^{\prime}(x)} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{0}{y^{\prime \prime}(x)} \\ \\
& = \frac{0}{1} = \textcolor{orangered}{0 \neq 1}
\end{aligned}
$$
于是可排除 (B) 选项。
对于 (C) 选项：
$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \sqrt{1+x^{2}}}{y(x)} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)}{y(x)} \\ \\
& = \frac{1}{2} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{y(x)} \\ \\
& = \frac{1}{2} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2 x}{y^{\prime}(x)} \\ \\
& = \frac{1}{2} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2}{y^{\prime \prime}(x)} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\frac{1}{2} \times 2 = 1}}
\end{aligned}
$$
于是可知，(C) 选项正确。
对于 (D) 选项：
$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{y(x)} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{y(x)} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2 x}{y^{\prime}(x)} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2}{y^{\prime \prime}(x)} \\ \\
& = \textcolor{orangered}{2 \neq 1}
\end{aligned}
$$
于是可排除 (D) 选项。
综上可知，本 题 应 选 C 