一、题目
设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P{X=k}=\frac{C}{k!},k=0,1,2,\dots.$, 则 $E(X^{2})=$__.
二、解析
根据题目中给出的分布函数（概率分布函数）的形式，我们可以知道，这是一个泊松分布。
泊松分布的公式如下：
$P{X=k}$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$, $(k=0,1,2,\dots).$
于是我们有：
$C$ $=$ $\lambda^{k}e^{-\lambda}.$
由于在泊松分布中，$D(X)$ $=$ $E(X)$ $=$ $\lambda.$
而且我们知道 $D(X)$ 和 $E(X)$ 有如下关系：
$D(X)$ $=$ $E(X^2)-E^{2}(X)$ $\Rightarrow$ $E(X^{2})$ $=$ $D(X)$ $+$ $E^{2}(X)$ $=$ $\lambda$ $+$ $\lambda^{2}.$
因此，只要我们求出 $\lambda$ 的数值，也就是用 $C$ 表示出 $\lambda$ 就可以解出答案。
但是，这个思路是走不通的，一是因为通过 $C=\lambda^{k}e^{-\lambda}$ 用 $C$ 表示出 $\lambda$ 的计算十分复杂，其二是因为即便能够用 $C$ 表达出 $\lambda$, 那么表达式中也会含有未知变量 $k$.
因此可知，这道题还需要找一些隐含的条件，走另外的解题思路。
既然从源头开始想出来的解题思路有问题，那么我们就倒着想，看看为了计算出最终的结果，我们需要哪些条件。我们可以确定的是，无论采取哪种方法，要想解出 $E(X^{2})$, 就必须知道 $D(X)$ 和 $E^{2}(X)$, 因此（根据泊松分布的特性）我们需要知道 $\lambda$ 的数值，而要知道 $\lambda$ 的数值必然需要通过已知的常数 $C$ 来确定，根据公式，$C$ 与 $\lambda$ 同时出现的情况只在下面这个公式中存在：
$\frac{C}{k!}$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.$
但是，上面这个公式中存在一个未知量 $k.$
至此，无论我们接下来采取什么解题思路，一个首要的问题就是要移除未知量 $k$ 这个障碍。
如何移除呢？题目中并没有给出 $k$ 的值，也没有可供解出 $k$ 的关系式。不过，既然要解出 $k$ 就先来想想 $k$ 的含义吧。
在泊松分布的定义中，$X$ 是随机变量，由泊松分布公式中的 “$P{X=k}$” 我们知道，$k$ 就是用来给 $X$ 赋值的，不同的 $k$ 值对应不同的概率，而 $k$ 的取值范围是 $0,1,2,\dots n.$ 根据概率分布函数的特点我们知道，在一次随机实验中，一定会有一个随机变量发生，如果我们手里有全部的随机变量，那么在任何一次实验中都会有一个随机变量在我们手里发生，从整体上看这就是一个必然事件。
于是，我们知道，如果让 $k$ 取到所有可能取到的值并计算概率，之后把这些概率相加，那么和一定是 $1$, 即：
$\sum_{k=0}^{\infty}$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$ $=$ $\sum_{k=0}^{\infty}$ $\frac{C}{k!}$ $=$ $C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$ $=1.$
这里需要我们知道一个额外的知识点，就是自然常数（自然对数的底数） $e$ 的表示方法。
$e$ 有两种表示方法，如下：
方法一：$e=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}.$
方法二：$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots\frac{1}{n!}.$
注意：$0!=1.$
于是，我们有：
$C\sum_{k=0}^{\infty}$ $\frac{1}{k!}$ $=$ $Ce$ $=$ $1$ $\Rightarrow C$ $=$ $\frac{1}{e}$ $=$ $e^{-1}.$
又因为 $C$ $=$ $\lambda^{k}e^{-\lambda},$ 我们有：
$\lambda^{k}e^{-\lambda}$ $=$ $e^{-1}.$
于是有：
$\lambda$ $=$ $1$, $k=1.$
到这里就解出 $\lambda$ 的数值了，再结合前面的分析，我们就可以解出 $E(X^{2}):$
$E(X^2)$ $=$ $\lambda+\lambda^{2}$ $=$ $1$ $+$ $1^{2}$ $=$ $1$ $+$ $1$ $=$ $2.$
综上可知，本题的正确答案是：$2$
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