一、题目
设随机变量 的概率分布为 , 则 __.
二、解析
根据题目中给出的分布函数(概率分布函数)的形式,我们可以知道,这是一个泊松分布。
泊松分布的公式如下:
,
于是我们有:
由于在泊松分布中,
而且我们知道 和 有如下关系:
因此,只要我们求出 的数值,也就是用 表示出 就可以解出答案。
但是,这个思路是走不通的,一是因为通过 用 表示出 的计算十分复杂,其二是因为即便能够用 表达出 , 那么表达式中也会含有未知变量 .
因此可知,这道题还需要找一些隐含的条件,走另外的解题思路。
既然从源头开始想出来的解题思路有问题,那么我们就倒着想,看看为了计算出最终的结果,我们需要哪些条件。我们可以确定的是,无论采取哪种方法,要想解出 , 就必须知道 和 , 因此(根据泊松分布的特性)我们需要知道 的数值,而要知道 的数值必然需要通过已知的常数 来确定,根据公式, 与 同时出现的情况只在下面这个公式中存在:
但是,上面这个公式中存在一个未知量
至此,无论我们接下来采取什么解题思路,一个首要的问题就是要移除未知量 这个障碍。
如何移除呢?题目中并没有给出 的值,也没有可供解出 的关系式。不过,既然要解出 就先来想想 的含义吧。
在泊松分布的定义中, 是随机变量,由泊松分布公式中的 “” 我们知道, 就是用来给 赋值的,不同的 值对应不同的概率,而 的取值范围是 根据概率分布函数的特点我们知道,在一次随机实验中,一定会有一个随机变量发生,如果我们手里有全部的随机变量,那么在任何一次实验中都会有一个随机变量在我们手里发生,从整体上看这就是一个必然事件。
于是,我们知道,如果让 取到所有可能取到的值并计算概率,之后把这些概率相加,那么和一定是 , 即:
这里需要我们知道一个额外的知识点,就是自然常数(自然对数的底数) 的表示方法。
有两种表示方法,如下:
方法一:
方法二:
注意:
于是,我们有:
又因为 我们有:
于是有:
,
到这里就解出 的数值了,再结合前面的分析,我们就可以解出
综上可知,本题的正确答案是:
EOF