2008 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析

一、题目

曲线 $\sin (xy)$ $+$ $\ln (y-x)$ $=x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为__.

本题需要用到求导法则和切线方程公式的相关知识。

需要用到的求导公式有：

$(\sin x{)}^{\prime }$ $=$ $\cos x$;

$(\ln x{)}^{\prime }$ $=$ $\frac{1}{x}$;

$(ab{)}^{\prime }$ $=$ $a^{\prime }b$ $+$ $a{b}^{\prime }$;

$f^{\prime }(x)$ $=$ $f^{\prime }[\varphi (x)]$ $\cdot$ ${\varphi }^{\prime }(x)$.

求导过程中另外需要注意的两点如下：

• 对 $x$ 求导，则包括 $x$ 和其他常量都要按照求导公式进行计算，而除了 $x$ 之外的其他变量则只加上求导符号 (例如: ${}^{\prime }$) 即可，不进行求导计算；
• 等式两边对同一变量求导后，等式仍然成立。因为求导前是等式，求导规则也一致，则求导后等式两边仍然恒等。

切线方程的计算公式如下：

$y$ $-$ $f(x_0)$ $=$ $f^{\prime }(x_0)$ $(x-x_0)$.

解答思路如下：

由于切线方程的计算公式中包含导数 $f^{\prime }(x)$，因此，首先需要计算出导数。原式两边同时对 $x$ 求导可以产生导数 $y^{\prime }$：

$[\sin (xy)$ $+$ $\ln (y-x){]}^{\prime }$ $=$ $(x{)}^{\prime }$ $\Rightarrow$ $\cos (xy)$ $(x^{\prime }y+x{y}^{\prime })$ $+$ $\frac{1}{y-x}$ $(y-x{)}^{\prime }$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $\cos (xy)$ $(y$ $+$ $x{y}^{\prime }$ $)$ $+$ $\frac{1}{y-x}$ $(y^{\prime }$ $-$ $1$ $)$ $=$ $1$.

要求的是曲线在点 $(0,1)$ 处的切线方程，因此，我们把 $x$ $=$ $0$; $y$ $=$ $1$带入上面的到的式子中，得：

$1$ $\cdot$ $1$ $+$ $1$ $\cdot$ $(y^{\prime }$ $-$ $1$ $)$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $1$ $+$ $y^{\prime }$ $-$ $1$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $y^{\prime }$ $=$ $1$.

即：

$y^{\prime }(0)$ $=$ $1$.

将上述结果带入切线方程求导公式得：

$y$ $-$ $1$ $=$ $1$ $\cdot$ $($ $x$ $-$ $0$ $)$ $\Rightarrow$ $y$ $=$ $x$ $+$ $1$.

综上可知，本题得答案是：$y$ $=$ $x$ $+$ $1$.

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