二元函数可微的判别式中隐含着一阶偏导数的值

一、题目

设连续函数 $f(x, y)=2 x+y-4+o\left(\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}\right)$, 则 $\lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{f(\sin 2 t, 1)-f\left(0, \mathrm{e}^{-t}\right)}{t}=$

难度评级：

二、解析

首先，根据一点处导数的定义：

$$
\begin{aligned}
& \lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{f(\sin 2 t, 1)-f\left(0, \mathrm{e}^{-t}\right)}{t} \\
& = \lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{f(\sin 2 t, 1) – f\left(0, \mathrm{e}^{-t}\right) – f(0, 1) – [ – f(0, 1)]}{t} \\
& = \lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{f(\sin 2 t, 1) – f(0, 1)}{t} – \lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{f\left(0, \mathrm{e}^{-t}\right) – f(0, 1)}{t} \\
& = \lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{f(\sin 2 t, 1)-f(0,1)}{\sin 2 t} \cdot \frac{\sin 2 t}{t}-\lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{f\left(0, \mathrm{e}^{-t}\right)-f(0,1)}{\mathrm{e}^{-t}-1} \cdot \frac{\mathrm{e}^{-t}-1}{t} \\
& = \textcolor{orangered}{ 2 f^{\prime}_{x}(0,1) + f^{\prime}_{y}(0,1) }
\end{aligned}
$$

于是，我们接下来要做的就是求解出 $f^{\prime}_{x}(0,1)$ 和 $f^{\prime}_{y}(0,1)$ 的值。

由于题目中给出了“函数 $f(x, y)$ 连续”这一条件，而且，根据判断二元函数是否可微的定义公式, 如果函数 $f(x, y)$ 在点 $(0, 1)$ 连续，则一定有：

$$
f\left(0 + \Delta x, 1 + \Delta y \right) – f \left(0, 1 \right) = \textcolor{orangered}{ f_{x}^{\prime} \left(0, 1 \right) } \Delta x + \textcolor{orangered}{ f_{y}^{\prime}\left(0, 1 \right) } \Delta y
$$

相关文章：
《彻底搞明白一元和二元函数中可微、可（偏）导、连续与极限存在之间的关系》

又因为，当 $t \rightarrow 0$ 时：

$$
f(\sin 2 t, 1) = f(0, 1)
$$

$$
f\left(0, \mathrm{e}^{-t}\right) = f(0, 1)
$$

且，当 $\begin{cases}
x = 0 \\
y = 1
\end{cases}$ 时，由 $f(x, y)$ $=$ $2 x+y-4+o\left(\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}\right)$, 得：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{yellow}{f(0,1)} \\
& = 0 + 1 – 4 + 0 \\
& = \textcolor{yellow}{-3}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
f(x, y)-f(0,1) \\
& = f(0 + \textcolor{orangered}{x – 0}, 1 + \textcolor{orangered}{y – 1} )-f(0,1) \\
& = 2x + y – 4 – f(0, 1) \\
& = 2x + y – 1 \\
& = 2 \cdot (\textcolor{orangered}{x-0}) + 1 \cdot (\textcolor{orangered}{y-1})
\end{aligned}
$$

即 $f(x, y)$ 在 $(0,1)$ 处可微, 且：

$$
\textcolor{yellow}{
f^{\prime}_{x}(0,1)=2
}
$$

$$
\textcolor{yellow}{
f^{\prime}_{y}(0,1)=1
}
$$

综上可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
\lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{f(\sin 2 t, 1)-f\left(0, \mathrm{e}^{-t}\right)}{t} = 2 \cdot 2 + 1 = 5
}
$$

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