一阶导存在，则原函数连续，二阶导存在，则一阶导连续

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{2 x}, & x<0, \\ a x^{2}+b x+c, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 且 $f^{\prime \prime}(0)$ 存在, 则：$\begin{cases}
a = ? \\
b = ? \\
c = ?
\end{cases}$

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
f(0^{-}) = 1
$$

$$
f(0)=f(0^{+}) = c
$$

接着，由于函数 $f(x)$ 的二阶导存在，因此，函数 $f(x)$ 的一阶导一定存在，即函数 $f(x)$ 一定是一个连续函数，即：

$$
f(0^{-}) = f(0^{+}) \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
c=1
}
$$

于是，一阶导为：

$$
f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
2 \mathrm{e}^{2 x}, & x<0, \\ 2 a x+b, & x>0,
\end{array}\right.
$$

又：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} f^{\prime}(x)=2
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=b
$$

由于 $x = 0$ 点处的二阶导函数存在，因此，二阶导函数的原函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处连续，即：

$$
\textcolor{springgreen}{
b=2
}
$$

$$
f^{\prime}(0)=2
$$

于是：

$$
f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
2 \mathrm{e}^{2 x}, & x<0, \\
2 a x+2, & x \geqslant 0 ;
\end{array}\right.
$$

接着，根据一点处导数的定义可知：

$$
\begin{aligned}
f^{\prime \prime}(0^{-}) \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}(0)}{x-0} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2 \mathrm{e}^{2 x}-2}{x} \\ \\
& = 4
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
f^{\prime \prime}(0^{+}) \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}(0)}{x-0} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2 a x+2-2}{x} \\ \\
& = 2 a
\end{aligned}
$$

又由 $f^{\prime \prime}(0)$ 存在得：

$$
\textcolor{springgreen}{
a=2
}
$$

综上可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{cases}
a = 2 \\
b = 2 \\
c = 1
\end{cases}
}
$$

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