一阶导存在，则原函数连续，二阶导存在，则一阶导连续

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{2x},& x<0,\\ a{x}^2+bx+c,& x⩾0,\end{array}$ 且 $f^{\prime \prime }(0)$ 存在, 则：$\{\begin{array}{l}a=?\\ b=?\\ c=?\end{array}$

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二、解析

由题可知：

$$f(0^{-})=1$$

$$f(0)=f(0^{+})=c$$

接着，由于函数 $f(x)$ 的二阶导存在，因此，函数 $f(x)$ 的一阶导一定存在，即函数 $f(x)$ 一定是一个连续函数，即：

$$f(0^{-})=f(0^{+})\Rightarrow$$

$$c=1$$

于是，一阶导为：

$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}2{\mathrm{e}}^{2x},& x<0,\\ 2ax+b,& x>0,\end{array}$$

又：

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}{f}^{\prime }(x)=2$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{f}^{\prime }(x)=b$$

由于 $x=0$ 点处的二阶导函数存在，因此，二阶导函数的原函数 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处连续，即：

$$b=2$$

$$f^{\prime }(0)=2$$

于是：

$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}2{\mathrm{e}}^{2x},& x<0,\\ 2ax+2,& x⩾0;\end{array}$$

接着，根据一点处导数的定义可知：

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime \prime }(0^{-})\\ \\ & =\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(0)}{x-0}\\ \\ & =\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{2{\mathrm{e}}^{2x}-2}{x}\\ \\ & =4\end{array}$$

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime \prime }(0^{+})\\ \\ & =\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(0)}{x-0}\\ \\ & =\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{2ax+2-2}{x}\\ \\ & =2a\end{array}$$

又由 $f^{\prime \prime }(0)$ 存在得：

$$a=2$$

综上可知：

$$\{\begin{array}{l}a=2\\ b=2\\ c=1\end{array}$$

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