在涉及数列的题目中，一定要注意该数列有多少项：并不是所有的数列都是 n 项

一、题目

已知 $a_1=1$, $a_2=2$, $3a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$.

则：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

首先，分析可知，题目所给条件中的 “$a_1=1$, $a_2=2$” 仅仅是一种初始条件，并没有包含任何规律性的信息，而要求解数列 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ 的值，就必须找到一定的规律。

因此，我们只能从下式入手：

$$3a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=0$$

由上式，可得：

$$3(a_{n+2}-a_{n+1})=a_{n+1}-a_n$$

其中，$n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$

于是，若令 $b_n$ $=$ $a_{n+1}-a_n$, 则：

$$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{1}{3}$$

其中，$n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$

于是可知，数列 $b_n$ 是一个等比数列，公比 $q=\frac{1}{3}$.

又因为：

$$b_1=a_2–a_1=2–1=1$$

从而，根据等比数列求第 $n$ 项的公式，可得：

$$\begin{array}{rl}{b}_n& \\ \\ & =b_1\cdot q^{n-1}\\ \\ & ={\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\end{array}$$

进而：

$$\mathit{n}\mathbf{-}\mathbf{1}\text{ 项 }\Rightarrow \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}{a}_2-a_1& =1\\ a_3-a_2& =\frac{1}{3}\\ ⋮\\ a_n-a_{n-1}& =\frac{1}{3^{\mathit{n}\mathbf{-}\mathbf{2}}}\end{array}\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}& (a_2–a_1)+(a_3–a_2)+\cdots +(a_n–a_{n-1})\\ \\ & =a_n–a_1\\ \\ & =1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{3^{n-2}}\\ \\ & =\frac{1\cdot (1–\frac{1}{3^{\mathit{n}\mathbf{-}\mathbf{1}}})}{\frac{2}{3}}\\ \\ & =\frac{3}{2}(1–\frac{1}{3^{n-1}})\end{array}$$

等比数列前 $n$ 项和的公式为：
$S_n$ $=$ $\frac{a_1(1–q^n)}{1–q}$

综上可知：

$$a_n=1+\frac{3}{2}(1-\frac{1}{3^{n-1}})$$

即：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=1+\frac{3}{2}\cdot (1–0)=\frac{5}{2}$$

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