无穷小的阶数与无穷小量的系数无关

一、题目

已知，当 $x\to 0^{+}$ 时, ${\ln }^{\alpha }(1+2x)$ 和 $(1-\cos x{)}^{\frac{1}{\alpha }}$ 均是比 $x$ 高阶的无穷小，则 $\alpha$ 的取值范围是多少？

难度评级：

二、解析

首先，当 $x\to 0^{+}$ 时：

$$\begin{array}{r}{\ln }^{\alpha }(1+2x)\\ \\ & \sim (2x{)}^{\alpha }\\ \\ & \sim 2^{\alpha }{x}^{\alpha }\end{array}$$

且：

$$\begin{array}{r}(1-\cos x{)}^{\frac{1}{\alpha }}\\ \\ & \sim (\frac{1}{2}{x}^2{)}^{\frac{1}{\alpha }}\\ \\ & \sim 2^{-\frac{1}{\alpha }}{x}^{\frac{2}{\alpha }}\end{array}$$

由于在对无穷小量进行阶数的比较时，只需要关注无穷小量的次幂，而不需要关注无穷小量的系数，因此，我们可以将上面的计算结果写成如下简化形式：

$${\ln }^{\alpha }(1+2x)\leftrightarrow x^{\alpha }$$

$$(1-\cos x{)}^{\frac{1}{\alpha }}\leftrightarrow x^{\frac{2}{\alpha }}$$

于是，为了使 ${\ln }^{\alpha }(1+2x)$ 和 $(1-\cos x{)}^{\frac{1}{\alpha }}$ 都是 $x^1$ 的高阶无穷小，必须有：

$$\{\begin{array}{l}\alpha >1\\ \\ \frac{2}{\alpha }>1\end{array}$$

即：

$$1<\alpha <2$$

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