无穷小的阶数与无穷小量的系数无关

一、题目

已知，当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时, $\ln ^{\alpha}(1+2 x)$ 和 $(1-\cos x)^{\frac{1}{\alpha}}$ 均是比 $x$ 高阶的无穷小，则 $\alpha$ 的取值范围是多少？

难度评级：

二、解析

首先，当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时：

$$
\begin{aligned}
\ln ^{\alpha}(1+2 x) \\ \\
& \sim (2x)^{\alpha} \\ \\
& \sim 2^{\alpha} x^{\alpha}
\end{aligned}
$$

且：

$$
\begin{aligned}
(1-\cos x)^{\frac{1}{\alpha}} \\ \\
& \sim (\frac{1}{2} x^{2})^{\frac{1}{\alpha}} \\ \\
& \sim 2^{-\frac{1}{\alpha}} x^{\frac{2}{\alpha}}
\end{aligned}
$$

由于在对无穷小量进行阶数的比较时，只需要关注无穷小量的次幂，而不需要关注无穷小量的系数，因此，我们可以将上面的计算结果写成如下简化形式：

$$
\ln ^{\alpha}(1+2 x) \ \leftrightarrow \ x^{\textcolor{orangered}{ \alpha }}
$$

$$
(1-\cos x)^{\frac{1}{\alpha}} \ \leftrightarrow \ x^{\textcolor{orangered}{ \frac{2}{\alpha} }}
$$

于是，为了使 $\ln ^{\alpha}(1+2 x)$ 和 $(1-\cos x)^{\frac{1}{\alpha}}$ 都是 $x^{\textcolor{yellow}{1}}$ 的高阶无穷小，必须有：

$$
\left\{\begin{array}{l} \textcolor{orangered}{\alpha} > 1 \\ \\
\textcolor{orangered}{ \frac{2}{\alpha} } > 1 \end{array}\right.
$$

即：

$$
\textcolor{springgreen}{
1<\alpha<2
}
$$

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