如果分母等于零的式子存在极限值，则分子也一定等于零

一、题目

已知：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^{x}+a x^{2}+b x\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=1
$$

则 $a \ = \ ?$, $b \ = \ ?$

难度评级：

二、解析

由于：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^{x}+a x^{2}+b x\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=\mathrm{e}^{\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}+a x^{2}+b x-1}{x^{2}}}=1
$$

因此，根据 $x \rightarrow 0$ 时的泰勒公式 $e^{x} = 1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+o\left(x^{2}\right)$ 可知：

$$
\begin{aligned}
& \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}+a x^{2}+b x-1}{x^{2}} \\ \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left[1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+o\left(x^{2}\right)\right]+a x^{2}+b x-1}{x^{2}} \\ \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left(\frac{1}{2}+a\right) x^{2}+(1+b) x+o\left(x^{2}\right)}{x^{2}}=0
\end{aligned}
$$

由于当 $x \rightarrow 0$ 的时候，$x^{2} \rightarrow 0$, 因此，此时必须有：

$$
\left[ \left(\frac{1}{2}+a\right) x^{2}+(1+b) x+o\left(x^{2}\right) \right] \rightarrow 0
$$

即：

$$
\begin{cases}
1+b=0 \\
\frac{1}{2}+a=0
\end{cases}
$$

因此可知：

$$
\begin{cases}
a = -\frac{1}{2} \\
b = -1
\end{cases}
$$

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