如果分母等于零的式子存在极限值，则分子也一定等于零

一、题目

已知：

$$\underset{x\to 0}{lim}{({\mathrm{e}}^x+a{x}^2+bx)}^{\frac{1}{x^2}}=1$$

则 $a=?$, $b=?$

难度评级：

二、解析

由于：

$$\underset{x\to 0}{lim}{({\mathrm{e}}^x+a{x}^2+bx)}^{\frac{1}{x^2}}={\mathrm{e}}^{\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^x+a{x}^2+bx-1}{x^2}}=1$$

因此，根据 $x\to 0$ 时的泰勒公式 $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+o\left(x^2\right)$ 可知：

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x+a{x}^2+bx-1}{x^2}\\ \\ =& \underset{x\to 0}{lim}\frac{[1+x+\frac{x^2}{2!}+o\left(x^2\right)]+a{x}^2+bx-1}{x^2}\\ \\ =& \underset{x\to 0}{lim}\frac{(\frac{1}{2}+a)x^2+(1+b)x+o\left(x^2\right)}{x^2}=0\end{array}$$

由于当 $x\to 0$ 的时候，$x^2\to 0$, 因此，此时必须有：

$$[(\frac{1}{2}+a)x^2+(1+b)x+o\left(x^2\right)]\to 0$$

即：

$$\{\begin{array}{l}1+b=0\\ \frac{1}{2}+a=0\end{array}$$

因此可知：

$$\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=-1\end{array}$$

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