2024年考研数二第02题解析：一点处导数的定义、参数方程求导

一、题目

设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=1+t^3\\ y=e^{t^2}\end{array}$ 确定, 则：

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x[f(2+\frac{2}{x})-f(2)]=()$

难度评级：

二、解析

首先：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x[f(2+\frac{2}{x})-f(2)]=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(2+\frac{2}{x})-f(2)}{\frac{1}{x}}=$$

$$2\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(2+\frac{2}{x})-f(2)}{\frac{2}{x}}=2f^{\prime }(2)$$

于是，根据 $y=f(x)\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1+t^3\\ y=e^{t^2}\end{array}$ 可知：

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\\ \\ & =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ \\ & =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\\ \\ & =\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}\\ \\ & =\frac{2t\cdot e^{t^2}}{3t^2}\end{array}$$

又因为当 $x=2$ 时，可以推知 $t=1$, 因此：

$$2f^{\prime }(2)=2\cdot \frac{2\cdot e}{3}=\frac{4e}{3}$$

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