无穷小量计算的技巧：抛砖引玉式解法

一、题目

$$I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos (\sin x)-\cos x}{\tan x\cdot [{\int }_0^x{e}^{-(x-t{)}^2}\mathrm{d}t-x]}=?$$

难度评级：

二、解析

首先对分子中的积分进行处理，使之可以被求导：

令 $u=x-t$, 则：

$$\{\begin{array}{l}t=x-u\\ \mathrm{d}t=-\mathrm{d}u\\ t\in (0,x)\Rightarrow u\in (x,0)\end{array}$$

于是：

$${\int }_0^x{e}^{-(x-t{)}^2}\mathrm{d}t=-{\int }_x^0{e}^{-u^2}\mathrm{d}u={\int }_0^x{e}^{-u^2}\mathrm{d}u$$

接着，对 ${\int }_0^x{e}^{-u^2}\mathrm{d}u–x$ 求导可知，求导之后的 ${\int }_0^x{e}^{-u^2}\mathrm{d}u–x$ 是一个 $2$ 阶无穷小，因此，没有求导的 ${\int }_0^x{e}^{-u^2}\mathrm{d}u–x$ 应该是和 $x^3$ 同阶的无穷小。

于是，我们可以令 $x^3$ 为“砖”，通过“抛砖引玉”的方式引出来 ${\int }_0^x{e}^{-u^2}\mathrm{d}u–x$ 对应的等价无穷小这块“玉”：

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\int }_0^x{e}^{-(x-t{)}^2}\mathrm{d}t-x}{x^3}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\int }_0^x{e}^{-u^2}\mathrm{d}u-x}{x^3}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{-x^2}-1}{3x^2}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{-x^2}{3x^2}=\frac{-1}{3}\end{array}$$

于是，当 $x\to 0$ 时：

$$\tan x\cdot [{\int }_0^x{e}^{-(x-t{)}^2}\mathrm{d}t-x]\sim \frac{-1}{3}{x}^4$$

上面是对分母的处理，接下来我们开始处理分子。

通过对分子 $\cos (\sin x)-\cos x$ 形式的观察可知，我们可以将该式子看作是函数 $f(t)=\cos t$ 在 $t$ 取 $x$ 和 $\sin x$ 这两个不同的值的时候相减得到的。因此，令：

$$f(t)=\cos t$$

则：

$$f^{\prime }(t)=-\sin t$$

于是，根据中值定理可知：

$$\begin{array}{rl}\cos (\sin x)-\cos x& =f(\sin x)-f(x)\\ & =f^{\prime }(\xi )(\sin x-x)\end{array}$$

其中，$\xi \in (x,\sin x)$

并且，由于 $\xi \in (x,\sin x)$, 因此，当 $x\to 0$ 时，有：

$$\sin \xi \sim x\sim \sin x$$

综上：

$$\begin{array}{rl}I& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(\xi )(\sin x-x)}{\frac{-1}{3}{x}^4}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{-\sin \xi (\sin x-x)}{\frac{-1}{3}{x}^4}\\ \\ & =3\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x-x}{x^3}\\ \\ & =3\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{-1}{6}{x}^3}{x^3}=\frac{-1}{2}\end{array}$$

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