2017 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析（两种方法）

一、题目

甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 $10$（单位：m）处. 图中，实线表示甲的速度曲线 $v$ $=$ $v_1(t)$ （单位 : m/s），虚线表示乙的速度曲线 $v$ $=$ $v_2(t)$ （单位 : m/s），三块阴影部分面积的数值依次为 $10$, $20$, $3$. 计时开始后乙追上甲的时刻记为 $t_0$ （单位 : s），则（）

( A ) $t_0$ $=$ $10$.

( B ) $15$ $<$ $t_0$ $<$ $20$.

( C ) $t_0$ $=$ $25$.

( D ) $t_0$ $>$ $25$.

二、解析

方法一

从物理学的角度，本题就是考查速度与路程的关系。

题目中给出的 $X$ $-$ $Y$ 坐标图像是“时间-速度”图像。那么，根据物理学知识我们知道，该曲线与坐标轴围成的图像的面积就是走过的路程。我们又知道，实线表示甲，虚线表示乙，而且刚开始时甲在乙前面 $10$ 米处。

由图像可知，当 $t$ $=$ $10$ 时，甲在乙前面 $20$ 米处，当 $t$ $=$ $25$ 时，乙在第 $10$ 秒到第 $25$ 秒之间的 $15$ 秒时间里比甲多跑了 $20$ 米，正好抵消了之前乙落后于甲的 $20$ 米路程。因此，当 $t$ $=$ $25$ 时，乙追上了甲，即 $t_0$ $=$ $25$。

综上可知，本题的正确选项是：$C$.

方法二

从数学的角度，本题主要考查的是定积分的基本运算和定积分的几何意义。

使用高等数学解答本题需要如下关于定积分的知识：

1. 定积分的几何意义：
   曲边梯形的代数和.
2. 定积分的基本性质：
   定积分的线性性：

${\int }_a^b$ $[$ $k_1$ $f_1(x)$ $+$ $k_2$ $f_2(x)$ $]$ $dx$ $=$ $k_1$ ${\int }_a^b$ $f_1(x)$ $dx$ $+$ $k_2$ ${\int }_a^b$ $f_2(x)$ $dx$.

定积分积分区间的可加性：
${\int }_a^b$ $f(x)$ $dx$ $=$ ${\int }_a^c$ $f(x)$ $dx$ $+$ ${\int }_c^b$ $f(x)$ $dx$.

根据上面的知识，我们可以做如下推理。

如果我们约定，使用 $v(t)$ 表示速度，使用 $s(t)$ 表示路程，那么在从 $0$ 到 $t$ 这个时间段内，可以写出如下定积分表达式：

$s(t)$ $=$ ${\int }_0^t$ $v(t)$ $dx$.

因此，当乙在 $t_0$ 时刻追上甲时，甲走过的路程为：

$s_1(t)$ $=$ ${\int }_0^{t_0}$ $v_1(t)$.

乙走过的路程为：

$s_2(t)$ $=$ ${\int }_0^{t_0}$ $v_2(t)$.

$s_2(t)$

和 $s_1(t)$ 的关系为：

$s_2(t)$ $-$ $10$ $=$ $s_1(t)$.

于是有：

$s_2(t)$ $-$ $s_1(t)$ $=$ ${\int }_0^{t_0}$ $v_2(t)$ $-$ ${\int }_0^{t_0}$ $v_1(t)$ $=$ ${\int }_0^{t_0}$ $[$ $v_2(t)$ $-$ $v_1(t)$ $]$ $=$ $10$.

由于在从 $0$ 到 $10$ 秒的时间段内，$v_2$ 始终大于 $v_1$, 因此，乙超过甲的时间 $t_0$ 一定大于 $10$, 于是有：

${\int }_0^{10}$ $[$ $v_2(t)$ $-$ $v_1(t)$ $]$ $+$ ${\int }_{10}^{t_0}$ $[$ $v_2(t)$ $-$ $v_1(t)$ $]$ $=$ $10$.

又由于，从题中给出的图像我们可以看出：

${\int }_0^{10}$ $[$ $v_2(t)$ $-$ $v_1(t)$ $]$ $=$ $10$.

因此有：

${\int }_{10}^{t_0}$ $[$ $v_2(t)$ $-$ $v_1(t)$ $]$ $=$ $20$. (1)

根据题中图像可知，在第 $10$ 秒到第 $25$ 秒这段时间里，图像中对应的阴影部分的面积为 $20$, 所以当 $t_0$ $=$ $25$ 时， $(1)$ 式成立。

综上可知，本题的正确选项是：$C$.

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