通过曲率圆和二阶导确定极限式子的值

一、题目

已知曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处的曲率圆为 $(x–1{)}^2+(y–1{)}^2=2$, 则：

$$I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)+x}{(1+x{)}^x–1}=?$$

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二、解析

注意：
1. 有关曲率、曲率圆的基础知识可以查看这篇文章;
2. 有关曲率圆方程的基础知识可以查看这篇文章.

首先，由题可知，$y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处有定义，因此：

$$f(0)=0$$

又由图象和几何关系可知，$y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处的斜率为 $-1$, 即：

$$f^{\prime }(0)=-1$$

接着，由曲率圆方程 $(x–1{)}^2+(y–1{)}^2=2$ 可知，曲率半径为：

$$R=\sqrt{2}$$

因此：

$$\begin{array}{rl}K& =\frac{1}{R}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ & =\frac{|f^{\prime \prime }(0)|}{[1+f^{\prime 2}(0){]}^{3/2}}\\ \\ & =\frac{|f^{\prime \prime }(0)|}{2\sqrt{2}}\end{array}$$

于是：

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{|f^{\prime \prime }(0)|}{2\sqrt{2}}\Rightarrow$$

$$\frac{1}{1}=\frac{|f^{\prime \prime }(0)|}{2}\Rightarrow$$

$$|f^{\prime \prime }(0)|=2$$

由于 $y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 附近是一个凹函数，因此，其二阶导一定不小于零，即：

$${\mathit{f}}^{\mathit{\prime }\mathit{\prime }}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{2}$$

又：

$$\begin{array}{rl}I& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)+x}{(1+x{)}^x–1}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)+x}{e^{x\ln (1+x)}–1}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)+x}{x\ln (1+x)}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)+x}{x^2}\Rightarrow \text{ 洛必达运算 }\Rightarrow \\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)+1}{2x}\Rightarrow \text{ 洛必达运算 }\Rightarrow \\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}=\frac{2}{2}=1\end{array}$$

补充：

对于 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)+1}{2x}$ 还可以有如下解法：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)+1}{2x}\Rightarrow \text{ 导数的定义 }\Rightarrow$$
$$\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)–f^{\prime }(0)}{x}=$$
$$\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{lim}{f}^{\prime \prime }(0)=\frac{1}{2}\cdot 2=1$$

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