用 e 抬起法去根号

一、题目

$$
I = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\ln (n+1)} (\sqrt[n]{n} – 1)
$$

难度评级：

二、解析

已知：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n} \Rightarrow \text{洛必达} \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1} = 0
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
I = & \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\ln (n+1)} (\sqrt[n]{n} – 1) \\
= & \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\ln (n+1)} (e^{\frac{1}{n} \ln n} – 1) \\
= & \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\ln (n+1)} ( \frac{1}{n} \ln n) \\
= & \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \ln n }{\ln (n+1)} \\
= & \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \ln n }{\ln n} = 1
\end{aligned}
$$

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