在无穷大的环境中，只有次幂最高的起作用

一、题目

已知 $I$ $=$ $lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (2 x + 1) (3 x + 1) (4 x + 1) (5 x + 1)}{(2 x - 1)^{α}} = β \neq 0$ , 则：

${\begin{cases} α = ? \\ β = ? \end{cases}$

难度评级：

二、解析

首先，由于原式 $I$ 分子中多项式 $(x + 1) (2 x + 1) (3 x + 1) (4 x + 1) (5 x + 1)$ 相乘能得到的关于 $x$ 的最大次幂是 $5$ , 且原式最终所得的极限值 $β \neq 0$ , 于是，在无穷大的环境中，原式的分子和分母是“ 同阶无穷大 ”，这就要求原式分母中 $x$ 的最高次幂也应该是 $5$ , 即：

$α = 5$

接着：

$\begin{aligned} I \\ = lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (2 x + 1) (3 x + 1) (4 x + 1) (5 x + 1)}{(2 x - 1)^{α}} \\ = lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (2 x + 1) (3 x + 1) (4 x + 1) (5 x + 1)}{(2 x - 1)^{5}} \\ = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{5}} (x + 1) (2 x + 1) (3 x + 1) (4 x + 1) (5 x + 1)}{\frac{1}{x^{5}} (2 x - 1)^{5}} \\ = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{2 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{4 x + 1}{x} \cdot \frac{5 x + 1}{x}}{{(\frac{2 x - 1}{x})}^{5}} \\ = lim_{x \to \infty} \frac{(1 + \frac{1}{x}) \cdot (2 + \frac{1}{x}) (3 + \frac{1}{x}) (4 + \frac{1}{x}) (5 + \frac{1}{x})}{{(2 - \frac{1}{x})}^{5}} \\ = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{2^{5}} = β \end{aligned}$