关于幂指函数的无穷大比较的一个重要结论

一、题目

$$I=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{5^n+2^n}{5^{n+1}+2^{n+1}}=?$$

难度评级：

二、解析

$$\begin{array}{r}I=\\ \\ & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{5^n+2^n}{5^{n+1}+2^{n+1}}=\\ \\ & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{5^n(1+\frac{2^n}{5^n})}{5^{n+1}(1+\frac{2^{n+1}}{5^{n+1}})}=\\ \\ & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{5^n[1+{\left(\frac{2}{5}\right)}^n]}{5^{n+1}[1+{\left(\frac{2}{5}\right)}^{n+1}]}=\\ \\ & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{5^n(1+0)}{5^{n+1}(1+0)}=\\ \\ & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{5^n}{5^{n+1}}=\\ \\ & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{5^n}{5^n\cdot 5}=\frac{1}{5}\end{array}$$

三、结论

如果 $a>b$, 则：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a^n+b^n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}^n=\mathrm{\infty }$$

---