2017 年研究生入学考试数学一填空题第 1 题解析(两种方法)

一、题目

已知函数 f(x) = 11+x2, 则 f(3)(0) =

二、解析

方法一

本题可以借助函数奇偶性的相关性质解出。

由于:

f(x) = 11+x2

f(x) = 11+x2

f(x) = 11+(x)2 = 11+x2

因此:

f(x) = f(x)

于是,我们知道,函数 f(x) 是一个偶函数。

接下来,根据“偶函数的导数是奇函数,奇函数的导数是偶函数”的规律,我们知道,函数 f(3)(x) 是一个奇函数。

又由于,如果一个奇函数 g(x) 在原点处( x = 0 )有定义,则 g(x) = 0, 因此有:

f(3)(0) = 0

综上可知,本题的答案就是:0.

方法二

本题也可以借助泰勒级数计算。

本题要求解的是在 x = 0 时,f(x) 的三次导函数的函数值。我们知道,麦克劳林级数就是函数在 x = 0 处的泰勒级数,是泰勒级数的一个特例。于是,这里我们可以使用麦克劳林级数对原式进行级数展开。

麦克劳林级数中有一个关于几何级数的公式,如下:

11x = 0 xn, |x| < 1

当我们把上述公式中的 x 替换成 x2 后,f(x) 就可以使用上述几何级数的公式表达,如下:

f(x) = 11+x2 = 11(x2) = 0 (x2)n = 0 (1)n x2n

之后,对 f(x) 求导:

f(x) = 0 (1)n 2n x2n1

f(x) = 0 (1)n 2n (2n1) x2n2

f(x) = 0 (1)n 2n (2n1) (2n2) x2n3

于是,f(0)=0.

综上可知,本题的答案就是: 0.

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