一点处导数是“该点处”的导数，而不是“趋于该点处”的导数

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 某邻域有定义，则存在函数 $g(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续并使 $f(x) – f\left(x_{0}\right)=\left(x-x_{0}\right) g(x)$ 是 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处可导的充要条件吗？

难度评级：

二、解析

$$
f(x)-f\left(x_{0}\right)=\left(x-x_{0}\right) g(x) \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=g\left(x \right)=\frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}
$$

于是：

$$
g(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}, & x \neq x_{0} \\
f^{\prime}\left(x_{0}\right), & x=x_{0}
\end{array}\right.
$$

又因为 $g(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处连续，所以：

$$
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}
$$

所以，$f(x) – f\left(x_{0}\right)=\left(x-x_{0}\right) g(x)$ 是 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处可导的充要条件。

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