一点处导数是“该点处”的导数，而不是“趋于该点处”的导数

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 某邻域有定义，则存在函数 $g(x)$ 在 $x_0$ 处连续并使 $f(x)–f\left(x_0\right)=(x-x_0)g(x)$ 是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导的充要条件吗？

难度评级：

二、解析

$$f(x)-f\left(x_0\right)=(x-x_0)g(x)\Rightarrow$$

$$f^{\prime }\left(x_0\right)=g\left(x\right)=\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$

于是：

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0},& x\ne x_0\\ f^{\prime }\left(x_0\right),& x=x_0\end{array}$$

又因为 $g(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，所以：

$$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$

所以，$f(x)–f\left(x_0\right)=(x-x_0)g(x)$ 是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导的充要条件。

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