这个复杂式子的求导你会吗？

一、题目

已知 $f(x)=x\tan \left(\frac{\pi }{6}{\mathrm{e}}^{\sin x}\right),x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$, 则 $f(x)$ 是

(A) 偶函数

(B) 无界函数

(C) 周期函数

(D) 单调函数

难度评级：

二、解析

已知：

$$f(x)=x\tan \left(\frac{\pi }{6}{e}^{\sin x}\right)$$

则当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时， $\frac{\pi }{6}{e}^{\sin x}$ 有界变化，因此 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }\Rightarrow$

于是可知，$f(x)$ 为无界函数，且没有周期性。

又：

$$f(-\pi )=(-\pi )\tan \frac{\pi }{6}=\frac{-\sqrt{3}}{3}\pi$$

$$f(\pi )=(\pi )\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$$

由于 $f(-\pi )\ne f(\pi )\Rightarrow$, 因此可知，$f(x)$ 不是偶函数。

又：

$$f^{\prime }(x)=$$

$$\tan \left(\frac{\pi }{6}{e}^{\sin x}\right)+x\cdot \frac{\pi }{6}\cdot \frac{1}{{\cos }^2(\frac{\pi }{6}\cdot e^{\sin x})}\cdot e^{\sin x}\cdot \cos x\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(0)=\frac{\sqrt{3}}{3}>0$$

$$f^{\prime }(\pi )=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{{\pi }^2}{6}\cdot \frac{4}{3}\cdot 1\cdot (-1)\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(\pi )=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2{\pi }^2}{9}<0.$$

因此可知，$f(x)$ 不单调。

综上可知，本题应选 B.

---