在计算无穷限积分的时候，要注意应用极限的思想

一、题目

$$I={\int }_1^{+\mathrm{\infty }}[\ln (1+\frac{1}{x})-\frac{1}{1+x}]\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

$$I={\int }_1^{+\mathrm{\infty }}[\ln (1+\frac{1}{x})-\frac{1}{1+x}]\mathrm{d}x=$$

$${\int }_{0_1}^{+\mathrm{\infty }}[\ln (1+x)-\ln x-\frac{1}{1+x}]\mathrm{d}x$$

其中：

$$\int [\ln (1+x)-\ln x]\mathrm{d}x-\int \frac{1}{1+x}\mathrm{d}x=$$

$$x[\ln (1+x)-\ln x]-\int x(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{x})\mathrm{d}x-\int \frac{1}{1+x}\mathrm{d}x=$$

$$x\ln (1+\frac{1}{x})-\int \frac{x+1}{1+x}-\int 1\mathrm{d}x=x\ln (1+\frac{1}{x})$$

于是：

$$I={x\ln (1+\frac{1}{x})|}_1^{+\mathrm{\infty }}=$$

$${\frac{\ln (1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}|}_{x\to +\mathrm{\infty }}-{x\ln (1+\frac{1}{x})|}_{x=1}=1-\ln 2$$

注意：

$${x\ln (1+\frac{1}{x})|}_1^{+\mathrm{\infty }}\ne 0–\ln 2$$

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