判断微分方程解的形式有时候需要分类讨论

一、题目

已知方程 $y^{\prime \prime}+q y=0$ 存在当 $x \rightarrow+\infty$ 时趋于零的非零解, 则：

(A) $q>0$

(B) $q \geqslant 0$

(C) $q<0$

(D) $q \leqslant 0$

难度评级：

二、解析

很显然，$q$ 的取值范围不同，会影响到微分方程解的形式，因此，我们应该分类讨论：

§ 当 $q > 0$ 时：

$$
\lambda^{2}+q=0 \Rightarrow \lambda= \pm i q \Rightarrow
$$

$$
y^{*}=e^{\alpha x}\left(C_{1} \cos \beta x+C_{2} \sin \beta x\right) \Rightarrow
$$

$$
y^{*}=C_{1} \cos q^{x}+C_{2} \sin q x \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{*} \neq 0
}
$$

§ 当 $q < 0$ 时：

$$
\lambda^{2}+q=0 \Rightarrow \lambda_{2}= \pm \sqrt{q} \Rightarrow
$$

$$
y^{*}=C_{1} e^{-\sqrt{q} x}+C_{2} e^{\sqrt{q} x} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{*}=+\infty
}
$$

§ 当 $q = 0$ 时：

$$
\lambda^{2}+q=0 \Rightarrow \lambda_{1}=\lambda_{2}=0 \Rightarrow
$$

$$
y^{*}=\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{0 x}=C_{1}+C_{2} x \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{*}=+\infty
}
$$

综上可知，本题应选 A.

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