判断微分方程解的形式有时候需要分类讨论

一、题目

已知方程 $y^{\prime \prime }+qy=0$ 存在当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时趋于零的非零解, 则：

(A) $q>0$

(B) $q⩾0$

(C) $q<0$

(D) $q⩽0$

难度评级：

二、解析

很显然，$q$ 的取值范围不同，会影响到微分方程解的形式，因此，我们应该分类讨论：

§ 当 $q>0$ 时：

$${\lambda }^2+q=0\Rightarrow \lambda =\pm iq\Rightarrow$$

$$y^{\ast }=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)\Rightarrow$$

$$y^{\ast }=C_1\cos q^x+C_2\sin qx\Rightarrow$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{y}^{\ast }\ne 0$$

§ 当 $q<0$ 时：

$${\lambda }^2+q=0\Rightarrow {\lambda }_2=\pm \sqrt{q}\Rightarrow$$

$$y^{\ast }=C_1{e}^{-\sqrt{q}x}+C_2{e}^{\sqrt{q}x}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{y}^{\ast }=+\mathrm{\infty }$$

§ 当 $q=0$ 时：

$${\lambda }^2+q=0\Rightarrow {\lambda }_1={\lambda }_2=0\Rightarrow$$

$$y^{\ast }=(C_1+C_{2}x)e^{0x}=C_1+C_{2}x\Rightarrow$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{y}^{\ast }=+\mathrm{\infty }$$

综上可知，本题应选 A.

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