成为拐点的本质要求是二阶导的正负性发生改变，而不是二阶导等于零

一、题目

已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\ln x-x,& x⩾1\\ x^2-2x,& x<1\end{array}$, 则：

(A) $x=1$ 是 $f(x)$ 的极小值点

(B) $x=1$ 是 $f(x)$ 的极大值点

(C) $(1,f(1))$ 是 $y=f(x)$ 拐点

(D) $(1,f(1))$ 不是 $y=f(x)$ 拐点

难度评级：

二、解析

一阶导：

$$f(x{)}^{\prime }=\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}–1<0,x>1\\ 2x–2<0,x<1\end{array}$$

因此，函数 $f(x)$ 单调递减，没有极值点。

二阶导：

$$f(x{)}^{\prime \prime }=\{\begin{array}{l}\frac{-1}{x^2}<0,x>1\\ 2>0,x<1\end{array}$$

由于二阶导的正负性在 $x=1$ 附近发生改变，因此，$x=1$ 是 $f(x)$ 的拐点。

综上可知，本题应选 C.

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