关于一点处导数存在和切线与导数之间关系的几个特例

一、题目

以下四个结论中正确的是哪个？

(A) 设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 是偶函数, $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在,则 $f^{\prime}(0)$ 存在

(B) 设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 是偶函数, 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点

(C) 设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 是奇函数, $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在

(D) 设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 可导, 则曲线 $y=f(x)$ 在 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 处存在切线, 反之亦然

难度评级：

二、解析

A 选项：

$y = |x|$ 在点 $x = 0$ 的左右两侧的导数均存在，一个是 $y^{\prime} = 1$, 一个是 $y^{\prime} = -1$——左导数和右导数不相等，因此该点处的导数不存在。

B 选项：

$y = \begin{cases}
|x|, x \neq 0; \\
1, x = 0
\end{cases}$ 是一个偶函数，但其在 $x = 0$ 处不存在极值点。

C 选项：

由于奇函数在 $X$ 轴左右两侧的凹凸性是相反的，如果在从 $X$ 轴一侧向另一侧过度的过程中不是光滑的，就无法保证该曲线是属于奇函数的曲线（事实上，$X$ 轴就是奇函数在 $x = 0$ 处的切线）也无法保证 $f(x) = -f(-x)$ $\Rightarrow$ $f(0) = -f(-0)$ 始终成立，因此，奇函数在 $x = 0$ 左右两侧的导数一定相等。

D 选项：

$y = \sqrt{x}$ 在 $x = 0$ 处不可导，但却存在垂直于 $X$ 轴的切线（就是 $Y$ 轴）。

综上可知，本题应选 C.

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