一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
以下四个结论中正确的是哪个?
(A) 设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 是偶函数, $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在,则 $f^{\prime}(0)$ 存在
(B) 设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 是偶函数, 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点
(C) 设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 是奇函数, $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在
(D) 设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 可导, 则曲线 $y=f(x)$ 在 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 处存在切线, 反之亦然
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
A 选项:
$y = |x|$ 在点 $x = 0$ 的左右两侧的导数均存在,一个是 $y^{\prime} = 1$, 一个是 $y^{\prime} = -1$——左导数和右导数不相等,因此该点处的导数不存在。
B 选项:
$y = \begin{cases}
|x|, x \neq 0; \\
1, x = 0
\end{cases}$ 是一个偶函数,但其在 $x = 0$ 处不存在极值点。
C 选项:
由于奇函数在 $X$ 轴左右两侧的凹凸性是相反的,如果在从 $X$ 轴一侧向另一侧过度的过程中不是光滑的,就无法保证该曲线是属于奇函数的曲线(事实上,$X$ 轴就是奇函数在 $x = 0$ 处的切线)也无法保证 $f(x) = -f(-x)$ $\Rightarrow$ $f(0) = -f(-0)$ 始终成立,因此,奇函数在 $x = 0$ 左右两侧的导数一定相等。
D 选项:
$y = \sqrt{x}$ 在 $x = 0$ 处不可导,但却存在垂直于 $X$ 轴的切线(就是 $Y$ 轴)。
综上可知,本题应选 C.
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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