这道题相当考研提取“公因式”的能力

一、题目

若 $f(x)=(x-1)x^{\frac{2}{3}}$, 则 $f(x)$ 的凸区间是（），拐点的横坐标是（）

难度评级：

二、解析

$$f(x)=(x-1)x^{\frac{2}{3}}\Rightarrow$$

求导：

$$f^{\prime }(x)=x^{\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}(x-1)\cdot x^{\frac{-1}{3}}\Rightarrow$$

整理：

$$f^{\prime }(x)=x\cdot x^{\frac{-1}{3}}+\frac{2}{3}(x-1)\cdot x^{\frac{-1}{3}}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=x^{\frac{-1}{3}}(\frac{5}{3}x-\frac{2}{3})\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}{x}^{\frac{-1}{3}}(5x-2),x\ne 0$$

整理的过程主要就是提取“公因式”，一般情况下都是将次幂的绝对值最大的式子提取出来。

继续求导：

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{-1}{9}{x}^{\frac{-4}{3}}(5x-2)+\frac{5}{3}{x}^{\frac{-1}{3}}\Rightarrow$$

整理：

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{3}{x}^{\frac{-4}{3}}[\frac{-1}{3}(5x–2)+5x]\Rightarrow$$

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{9}{x}^{\frac{-4}{3}}(5x+1)$$

于是：

$$5x+1=0\Rightarrow x=\frac{-1}{5}$$

$$5x+1<0\Rightarrow x<\frac{-1}{5}\Rightarrow (-\mathrm{\infty },\frac{-1}{5})$$

综上可知，$f(x)$ 的凸区间是 $(-\mathrm{\infty },\frac{-1}{5})$, 拐点的横坐标是 $x=\frac{-1}{5}$.

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