一、题目
若 $f(x)=(x-1) x^{\frac{2}{3}}$, 则 $f(x)$ 的凸区间是（），拐点的横坐标是（）
难度评级：
二、解析 
$$
f(x)=(x-1) x^{\frac{2}{3}} \Rightarrow
$$
求导：
$$
f^{\prime}(x)=x^{\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}(x-1) \cdot x^{\frac{-1}{3}} \Rightarrow
$$
整理：
$$
f^{\prime}(x)=x \cdot x^{\frac{-1}{3}}+\frac{2}{3}(x-1) \cdot x^{\frac{-1}{3}} \Rightarrow
$$
$$
f^{\prime}(x)=x^{\frac{-1}{3}}\left(\frac{5}{3} x-\frac{2}{3}\right) \Rightarrow
$$
$$
f^{\prime}(x)=\frac{1}{3} x^{\frac{-1}{3}}(5 x-2), \quad x \neq 0
$$
整理的过程主要就是提取“公因式”，一般情况下都是将次幂的绝对值最大的式子提取出来。
继续求导：
$$
f^{\prime \prime}(x)=\frac{-1}{9} x^{\textcolor{springgreen}{\frac{-4}{3}} }(5 x-2)+\frac{5}{3} x^{\textcolor{orangered}{\frac{-1}{3}}} \Rightarrow
$$
整理：
$$
f^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{3} x^{\textcolor{springgreen}{\frac{-4}{3}}}\left[\frac{-1}{3}(5 \textcolor{orangered}{x} – 2)+5 \textcolor{orangered}{x} \right] \Rightarrow
$$
$$
f^{\prime \prime}(x)=\frac{2}{9} x^{\frac{-4}{3}}(5 x+1)
$$
于是：
$$
5 x+1=0 \Rightarrow x=\frac{-1}{5}
$$
$$
5 x+1<0 \Rightarrow x<\frac{-1}{5} \Rightarrow\left(-\infty, \frac{-1}{5}\right)
$$
综上可知，$f(x)$ 的凸区间是 $(-\infty, \frac{-1}{5})$, 拐点的横坐标是 $x=\frac{-1}{5}$.
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