如何确定隐函数的极值点？

一、题目

设 $y=y(x)$ 是由方程 $2y^3-2y^2+2xy-x^2=1$ 确定的，则 $y=y(x)$ 的极值点是哪个？

难度评级：

二、解析

首先对原式中的 $x$ 求导：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& 6y^2\cdot y^{\prime }-4y\cdot y^{\prime }+2y+2x{y}^{\prime }-2x=0\end{array}$$

令 $y^{\prime }=0$, 则：

$$2y-2x=0\Rightarrow x=y$$

将 $x=y$ 代入 $(1)$ 得：

$$2x^3-2x^2+2x^2-x^2=1\Rightarrow$$

$$2x^3-x^2=1\Rightarrow$$

$$x^2(2x-1)=1\Rightarrow x=y=1$$

接下来需要确定 $x=1$ 是否是原方程的极值点（如果时选择填空题可以不做下面得验证，因为只有这么一个解，一定是题目要我们求解的值）。

整理 $(1)$ 式并继续对 $x$ 求导，得：

$$3y^2{y}^{\prime }-2y{y}^{\prime }+y+x{y}^{\prime }-x=0\Rightarrow$$

$$y^{\prime }(3y^2-2y+x)=x-y\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }(3y^2-2y+x)+y^{\prime }{(3y^2-2y+x)}_x^{\prime }=1-y^{\prime }\Rightarrow$$

$$x=1y=1y^{\prime }=0\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }(3-2+1)=1-0\Rightarrow y^{\prime \prime }=\frac{1}{2}>0$$

因此，$(1,1)$ 是原方程得极小值点。

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