如何确定隐函数的极值点？

一、题目

设 $y=y(x)$ 是由方程 $2 y^{3}-2 y^{2}+2 x y-x^{2}=1$ 确定的，则 $y=y(x)$ 的极值点是哪个？

难度评级：

二、解析

首先对原式中的 $x$ 求导：

$$
6 y^{2} \cdot y^{\prime}-4 y \cdot y^{\prime}+2 y+2 x y^{\prime}-2 x=0 \tag{1}
$$

令 $y^{\prime}=0$, 则：

$$
2 y-2 x=0 \Rightarrow x=y
$$

将 $x=y$ 代入 $(1)$ 得：

$$
2 x^{3}-2 x^{2}+2 x^{2}-x^{2}=1 \Rightarrow
$$

$$
2 x^{3}-x^{2}=1 \Rightarrow
$$

$$
x^{2}(2 x-1)=1 \Rightarrow x = y = 1
$$

接下来需要确定 $x=1$ 是否是原方程的极值点（如果时选择填空题可以不做下面得验证，因为只有这么一个解，一定是题目要我们求解的值）。

整理 $(1)$ 式并继续对 $x$ 求导，得：

$$
3 y^{2} y^{\prime}-2 y y^{\prime}+y+x y^{\prime}-x=0 \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}\left(3 y^{2}-2 y+x\right)=x-y \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}\left(3 y^{2}-2 y+x\right)+y^{\prime}\left(3 y^{2}-2 y+x\right)_{x}^{\prime}=1-y^{\prime} \Rightarrow
$$

$$
x=1 \quad y=1 \quad y^{\prime} = 0 \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}(3-2+1)=1-0 \Rightarrow y^{\prime \prime}=\frac{1}{2}>0
$$

因此，$(1, 1)$ 是原方程得极小值点。

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