一、题目
已知 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的两个不同的特解,则该方程的通解为:
(A) $y=C y_{1}(x)$
(B) $y=C y_{2}(x)$
(C) $y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$
(D) $y=C\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right)$
难度评级:
二、解析
由于 $y_{1} – y_{2}$ 一定是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的解,因此 $C(y_{1} – y_{2})$ 一定是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的通解。
本题的突破点在于“零解”:
1. 由于 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 其中之一可能是方程的零解,因此,$y=C y_{1}(x)$ 和 $y=C y_{2}(x)$ 不一定是方程的通解;
2. 类似的,假如 $y_{1}$ 是零解,而 $C_{2} = 0$, 那么 $y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$ 事实上就会恒等于零,因此,C 选项也可能不是方程的通解;
3. 但无论 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 谁是零解,$y=C\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right)$ 都始终不可能恒等于零,因此,D 选项正确。
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