函数单调增加(没说“严格单调增加”)则一阶导大于等于零而不是仅仅大于零

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,函数 f(x)(,+) 上有定义, 则下述命题中正确的是哪个?

(A) 若 f(x0)=0,f(x0)=0,f(x0)0, 则 x0 一定不是 f(x) 的极值点.
(B) 若 f(x) 在点 x0 处取得极值, 则 f(x0)=0.
(C) 若 f(x0)=0, 则 (x0,f(x0)) 是曲线 y=f(x) 的拐点坐标.
(D) 若 f(x)(,+) 上可导且单调增加, 则对一切 x(,+), 都有 f(x)>0.

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

B 选项

f(x)=|x|x=0 处取得极值,但是,f(x)x=0 处不可导,也就没有一阶导 f(0)=0 的可能性。

C 选项

f(x) 的二阶导存在,此时当 x=x0 是拐点时,一定有 f(x0)=0.

但是,反过来说,已知 f(x0)=0 并不能说明拐点存在,例如,当 f(x)=x4 时,f(x0)=12x2, 则 f(0)=0, 但是,如图 01 可知,x=0 并不是 f(x)=x4 的拐点:

函数单调增加(没说“严格单调增加”)则一阶导大于等于零而不是仅仅大于零 | 荒原之梦 | 图 01.
图 01. f(x)=x4 的函数图像示意图.

D 选项

f(x)(,+) 上单调增加,则有:

f(x)0

也就是说,f(x) 上存在有限个不增加的点,并不影响 f(x) 在区间上整体的单调增加。例如,f(x)=x3 在整个区间上是单调增加的,但 f(0)=0:

函数单调增加(没说“严格单调增加”)则一阶导大于等于零而不是仅仅大于零 | 荒原之梦 | 图 02.
图 02. f(x)=x3 的函数图像示意图.

也就是说,如果我们已知 f(x)>0 或者 f(x)0 都可以说明 f(x) 是单调增加,只不过 f(x)>0 准确的说应该意味着 f(x)【严格】单调增加。

综上排除可知,只有 A 选项正确。


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