函数单调增加（没说“严格单调增加”）则一阶导大于等于零而不是仅仅大于零

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义, 则下述命题中正确的是哪个？

(A) 若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$, 则 $x_{0}$ 一定不是 $f(x)$ 的极值点.
(B) 若 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值, 则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$.
(C) 若 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$, 则 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点坐标.
(D) 若 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导且单调增加, 则对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$, 都有 $f^{\prime}(x)>0$.

难度评级：

二、解析

B 选项

$f(x) = |x|$ 在 $x = 0$ 处取得极值，但是，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处不可导，也就没有一阶导 $f^{\prime}(0) = 0$ 的可能性。

C 选项

若 $f(x)$ 的二阶导存在，此时当 $x = x_{0}$ 是拐点时，一定有 $f^{\prime \prime}(x_{0}) = 0$.

但是，反过来说，已知 $f^{\prime \prime}(x_{0}) = 0$ 并不能说明拐点存在，例如，当 $f(x) = x^{4}$ 时，$f^{\prime \prime}(x_{0}) = 12 x^{2}$, 则 $f^{\prime \prime}(0) = 0$, 但是，如图 01 可知，$x = 0$ 并不是 $f(x) = x^{4}$ 的拐点：

D 选项

若 $f(x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调增加，则有：

$$
f^{\prime}(x) \geqslant 0
$$

也就是说，$f(x)$ 上存在有限个不增加的点，并不影响 $f(x)$ 在区间上整体的单调增加。例如，$f(x) = x^{3}$ 在整个区间上是单调增加的，但 $f^{\prime}(0) = 0$:

也就是说，如果我们已知 $f^{\prime}(x) > 0$ 或者 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 都可以说明 $f(x)$ 是单调增加，只不过 $f^{\prime}(x) > 0$ 准确的说应该意味着 $f(x)$【严格】单调增加。

综上排除可知，只有 A 选项正确。

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