一点处的导函数值和区间上的导函数计算方式不一样，但都是导数

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, \quad x=0\end{array}\right.$, 其中 $g(x)$ 二阶连续可导, 且 $g(0)=1$, $g^{\prime}(0)=-1$, 则 $f^{\prime}(0)=?$ $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续吗？

难度评级：

二、解析

首先，计算 $x = 0$ 这一点处的导函数值：

$$
f^{\prime}(0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)-e^{-x}}{x^{2}} \Rightarrow
$$

洛必达法则：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{g^{\prime}(x)+e^{-x}}{2 x} \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{g^{\prime \prime}(x)-e^{-x}}{2} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{
f^{\prime}(0) = \frac{g^{\prime \prime}(0)-1}{2}
}
$$

接着，用求导公式计算当 $x \neq 0$ 时的导数：

$$
f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\left[g^{\prime}(x)+e^{-x}\right] x-g(x)+e^{-x}}{x^{2}}, & x \neq 0 \\ \frac{g^{\prime \prime}(0)-1}{2}, & x = 0 \end{array}\right.
$$

当 $x \neq 0$ 时：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left[g^{\prime}(x)+e^{-x}\right] x-g(x)+e^{-x}}{x^{2}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x g^{\prime}(x)+x e^{-x}-g(x)+e^{-x}}{x^{2}} \Rightarrow \text{ 洛必达 } \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{g^{\prime}(x)+x g^{\prime \prime}(x)+e^{-x}-x e^{-x}-g^{\prime}(x)-e^{-x}}{2 x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x g^{\prime \prime}(x)-x e^{-x}}{2 x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{g^{\prime \prime}(x)-e^{-x}}{2}=
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\frac{g^{\prime \prime}(0)-1}{2}=f^{\prime}(0)
}
$$

于是可知，函数 $f^{\prime}(x)$ 在区间 $(- \infty, + \infty)$ 上连续。

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