一点处的导函数值和区间上的导函数计算方式不一样，但都是导数

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-{\mathrm{e}}^{-x}}{x},& x\ne 0\\ 0,x=0\end{array}$, 其中 $g(x)$ 二阶连续可导, 且 $g(0)=1$, $g^{\prime }(0)=-1$, 则 $f^{\prime }(0)=?$ $f^{\prime }(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上连续吗？

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二、解析

首先，计算 $x=0$ 这一点处的导函数值：

$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{g(x)-e^{-x}}{x^2}\Rightarrow$$

洛必达法则：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{g^{\prime }(x)+e^{-x}}{2x}\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{g^{\prime \prime }(x)-e^{-x}}{2}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(0)=\frac{g^{\prime \prime }(0)-1}{2}$$

接着，用求导公式计算当 $x\ne 0$ 时的导数：

$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{[g^{\prime }(x)+e^{-x}]x-g(x)+e^{-x}}{x^2},& x\ne 0\\ \frac{g^{\prime \prime }(0)-1}{2},& x=0\end{array}$$

当 $x\ne 0$ 时：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{[g^{\prime }(x)+e^{-x}]x-g(x)+e^{-x}}{x^2}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x{g}^{\prime }(x)+x{e}^{-x}-g(x)+e^{-x}}{x^2}\Rightarrow \text{ 洛必达 }\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{g^{\prime }(x)+x{g}^{\prime \prime }(x)+e^{-x}-x{e}^{-x}-g^{\prime }(x)-e^{-x}}{2x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x{g}^{\prime \prime }(x)-x{e}^{-x}}{2x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{g^{\prime \prime }(x)-e^{-x}}{2}=$$

$$\frac{g^{\prime \prime }(0)-1}{2}=f^{\prime }(0)$$

于是可知，函数 $f^{\prime }(x)$ 在区间 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上连续。

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