什么情况下间断点会被“弥合”？

一、题目

已知 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，且 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 间断，则在点 $x_{0}$ 处必定间断的函数是哪个？

(A) $f(x) \sin x$.
(B) $f(x)+\sin x$.
(C) $f^{2}(x)$.
(D) $|f(x)|$.

难度评级：

二、解析

A 选项：

当 $f(x) = \frac{1}{\sin x}$ 的时候在 $x = 0$ 处存在间断点，但是，$\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $f(x) \sin x$ $=$ $\lim_{x \rightarrow +\infty}$ $\sin x (\sin \frac{1}{x}) = 0$ 在 $x = 0$ 处没有间断点；

或者，当 $f(x) = \begin{cases}
0, & x \neq 0 \\ 1, & x= 0
\end{cases}$ 在 $x = 0$ 处存在间断点，但是，$f(x) \sin x = 0$ 在 $x = 0$ 处不存在间断点。

C 选项、D 选项：

$f(x) = \begin{cases}
-1, & x \geqslant 0 \\ 1, & x < 0
\end{cases}$ 在 $x = 0$ 处有间断点，但是 $f^{2}(x)$ 和 $|f(x)|$ 在此处就没有间断点。

B 选项

由于一个含有间断点的函数和一个连续的函数相加减一般是不能弥合间断点的，因此本题应该选 B.

或者，若 $f(x) + \sin x$ 连续，则下面的函数也应该是连续的：

$$
(\sin x + f(x)) – \sin x = f(x)
$$

但很显然，上面的结论与 $f(x)$ 不连续相矛盾，因此，B 选项正确。

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