每次都乘以一个稍微大于 1 的数一定会得到无穷大吗？

一、题目

已知 $u_{n}$ $=$ $\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)$, 则下列命题正确的是哪个？

(A) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 不存在, 且 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n} \neq+\infty$.
(B) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=A>0$.
(C) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$.
(D) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$.

难度评级：

二、解析

由 $u_{n}$ $=$ $\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)$ 可知：

$$
\left(1+\frac{1}{2}\right) > 1
$$

$$
\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) > 1
$$

$$
\vdots
$$

$$
\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right) > 1
$$

由于每次乘进来的都是大于 $1$ 的式子，因此，数列 $\{ u_{n} \}$ 一定是单调递增的。

但是，由于：

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \left(1+\frac{1}{2^{n}}\right) = 1
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \left(1+\frac{1}{2^{n+1}}\right) = 1
$$

因此，数列 $\{ u_{n} \}$ 在 $x \rightarrow + \infty$ 时乘以的其实相当于 $1$, 此时已经不能给数列 $\{ u_{n} \}$ 带来增长了，因此，数列 $\{ u_{n} \}$ 一定存在极限。

综上可知，只有 B 选项正确。

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