如果物理应用题没有配图，一定要注意判断自己画的图是否符合题意

一、题目

已知，无穷长直线 $L$ 的线密度为 $1$, 引力常数为 $k$, 则 $L$ 对距直线为 $a$ 的单位质点 $A$ 的引力是多少？

难度评级：

二、解析

首先，根据题目，我们可以绘制出如下示意图：

在上述示意图中，我们将 $X$ 轴作为直线 $L$, 而质点 A 则位于 $Y$ 轴上 $y=a$ 处。

观察可以发现，质点与直线上长度为 $\mathrm{d}x$ 的一个小段之间并不是垂直的，但是在研究力的作用时，我们必须把力分到 $X$ 轴和 $Y$ 上才可以进行积分运算，因此，我们设质点 A 与长度为 $\mathrm{d}x$ 的直线之间的力为 $F_2$, 该力在 $Y$ 轴上的分量为 $F_1$.

需要注意的是，本题与考研数学 1991 年的这道考研真题很相似，但也很不同。

$F_2$ 的表达式：

$$F=G\frac{Mm}{r^2}\Rightarrow F_2=k\frac{M\cdot 1}{r^2}\Rightarrow$$

又：

$$M=1\cdot \mathrm{d}x$$

于是：

$$F_2=k\frac{\mathrm{d}x}{r^2}\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}{F}_2=\frac{k\mathrm{d}x}{a^2+x^2}$$

又：

$$\frac{F_1}{F_2}=\cos \theta \Rightarrow F_1=F_2\cdot \cos \theta$$

于是：

$$\mathrm{d}{F}_1=\mathrm{d}{F}_2=\frac{k\mathrm{d}x}{a^2+x^2}\cdot \cos \theta$$

又：

$$\cos \theta =\frac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}$$

于是：

$$\mathrm{d}{F}_1=\frac{k\mathrm{d}x}{a^2+x^2}\cdot \frac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}{F}_1=\frac{ak\mathrm{d}x}{{(a^2+x^2)}^{\frac{3}{2}}}\Rightarrow$$

由于 L 是无限长的，因此，要在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上积分：

$$F_1={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{ak\mathrm{d}x}{{(a^2+x^2)}^{\frac{3}{2}}}=$$

$$2{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{ak\mathrm{d}x}{{(a^2+x^2)}^{\frac{3}{2}}}=$$

$$2ak{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{{(a^2+x^2)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

令（三角代换）：

$$x=\mathrm{atan}t\Rightarrow t\in (0,\frac{\pi }{2})\Rightarrow$$

$$a^2+x^2=a^2(1+{\tan }^{2}t)=\frac{a^2}{{\cos }^{2}t}$$

$${(a^2+x^2)}^{\frac{3}{2}}={\left(\frac{a^2}{{\cos }^{2}t}\right)}^{\frac{3}{2}}=\frac{a^3}{{\cos }^{3}t}$$

$$\mathrm{d}x=a\mathrm{d}(\tan t)=\frac{a}{{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t$$

于是：

$$2ak{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{{(a^2+x^2)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x=2ak{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\cos }^{3}t}{a^3}\cdot \frac{a}{{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t=$$

$$\frac{2k}{a}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos t\mathrm{d}t={\frac{2k}{a}\sin t|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{2k}{a}$$

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