两条不同的曲线旋转形成的共有旋转体的体积怎么表示？

一、题目

由相交于三点 $\left(x_{1}, y_{1}\right)\left(x_{2}, y_{2}\right)\left(x_{3}, y_{3}\right)$ (其中 $\left.x_{1} < x_{2} < x_{3}\right)$ 的两曲线 $y=f(x) > $ $0, y=g(x) > 0$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为：

(A) $\int_{x_{1}}^{x_{3}} \pi[f(x)-g(x)]^{2} \mathrm{~d} x$
(B) $\int_{x_{1}}^{x_{3}} \pi\left[f^{2}(x)-g^{2}(x)\right] \mathrm{d} x$
(C) $\int_{x_{1}}^{x_{3}} \pi\left|f^{2}(x)-g^{2}(x)\right| \mathrm{d} x$
(D) $\left|\int_{x_{1}}^{x_{3}} \pi\left[f^{2}(x)-g^{2}(x)\right] \mathrm{d} x\right|$

难度评级：

二、解析

示意图如下：

当：

$$
x \in\left(x_{1}, x_{2}\right) \Rightarrow f(x)>g(x) \Rightarrow
$$

$$
V_{1}=\pi \int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[f^{2}(x)-g^{2}(x)\right] \mathrm{~ d} x =\pi \int_{x_{1}}^{x_{2}}\left|f^{2}(x)-g^{2}(x)\right| \mathrm{~ d} x
$$

又当：

$$
x \in\left(x_{2}, x_{3}\right) \Rightarrow f(x)<g(x) \Rightarrow
$$

$$
V_{2}=\pi \int_{x_{2}}^{x_{3}}\left[g^{2}(x)-f^{2}(x)\right] \mathrm{~ d} x =\pi \int_{x_{2}}^{x_{3}}\left|f^{2}(x)-g^{2}(x)\right| \mathrm{~ d} x
$$

于是：

$$
V=V_{1}+V_{2}=\pi \int_{x_{1}}^{x_{3}}\left|f^{2}(x)-g^{2}(x)\right| \mathrm{~ d} x
$$

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