1989 年考研数二真题解析

八、解答题 (本题满分 10 分)

设抛物线 $y=a{x}^2+bx+C$ 过原点, 当 $0⩽x⩽1$ 时 $y⩾0$, 又已知该抛物线与 $x$ 轴及直线 $x=1$ 所围图形的面积为 $\frac{1}{3}$. 试确定 $a,b,c$ 的值, 使此图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积 $V$ 最小.

首先：

$$x=0,y=0\Rightarrow y=a{x}^2+bx+c\Rightarrow c=0\Rightarrow$$

接着，求面积：

$$S={\int }_0^1(a{x}^2+bx)\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\Rightarrow$$

$${(\frac{1}{3}a{x}^3+\frac{1}{2}b{x}^2)|}_0^1=\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b=\frac{1}{3}$$

求体积：

$$V=\pi {\int }_0^1{(a{x}^2+bx)}^2\mathrm{d}x=$$

$$\pi {\int }_0^1(a^2{x}^4+b^2{x}^2+2ab{x}^3)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$V={\pi (\frac{1}{5}{a}^2{x}^5+\frac{1}{3}{b}^2{x}^3+\frac{1}{4}\cdot 2ab{x}^4)|}_0^1\Rightarrow$$

$$V=\pi (\frac{a^2}{5}+\frac{b^2}{3}+\frac{ab}{2})\Rightarrow$$

又：

$$b=\frac{2}{3}(1-a)$$

因此：

$$V=\pi [\frac{a^2}{5}+\frac{\frac{4}{9}(1-a{)}^2}{3}+\frac{\frac{2}{3}a(1-a)}{2}]$$

$$V=\pi [\frac{a^2}{5}+\frac{4}{27}(1-a{)}^2+\frac{1}{3}a(1-a)]\Rightarrow$$

$$V_a^{\prime }=\pi [\frac{2}{5}a+\frac{4}{27}\cdot 2(1-a)\cdot (-1)+\frac{1}{3}(1-2a)]\Rightarrow$$

$$V_a^{\prime }=\pi (\frac{2}{5}a-\frac{8}{27}+\frac{8a}{27}+\frac{1}{3}-\frac{2a}{3})\Rightarrow$$

$$V_a^{\prime }=\pi (\frac{4}{135}a+\frac{1}{27})\Rightarrow V_a^{\prime }=0\Rightarrow$$

$$a=\frac{-1}{27}\cdot \frac{135}{4}=\frac{-5}{4}\Rightarrow b=\frac{3}{2}$$

又：

$$V_a^{\prime \prime }=\frac{4\pi }{135}>0$$

因此，当 $\{\begin{array}{ll}& a=\frac{-5}{4}\\ & b=\frac{3}{2}\\ & c=0\end{array}$ 时，体积最小。

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