六、证明题(本题满分 7 分)
证明: 方程 $\ln x=\frac{x}{\mathrm{e}}-\int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内有且仅有两个不同实根.
已知：
$$
\cos 2 \alpha=1- \textcolor{orangered}{ 2 } \sin ^{2} \alpha
$$
于是：
$$
\int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\cos 2 x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \sqrt{2 \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x=
$$
$$
\sqrt{2} \int_{0}^{\pi} \sin x \mathrm{~d} x=-\left.\sqrt{2} \cos x\right|_{0} ^{\pi}=-\sqrt{2}(-1-1)= 2 \sqrt{2}
$$
于是：
$$
\ln x=\frac{x}{e}-2 \sqrt{2} \Rightarrow f(x)=\frac{x}{e}-\ln x-2 \sqrt{2}
$$
$$
f^{\prime}(x)=\frac{1}{e}-\frac{1}{x} \Rightarrow f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow x=e
$$
$$
x=e \Rightarrow f(x)=1-1-2 \sqrt{2}=-2 \sqrt{2}<1
$$
且：
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x)=+\infty \quad \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty
$$
$$
x \in(0, e) \Rightarrow f^{\prime}(x)<0
$$
$$
x \in(e,+\infty) \Rightarrow f^{\prime}(x)>0
$$
因此，该方程在 $(0, e)$ 和 $(e,+\infty)$ 上各有一个实根。