1988 年考研数二真题解析

八、解答题 (本题满分 8 分)

f(x)(,+) 上有连续导数, 且 mf(x)M.

(1) 求 lima0+14a2aa[f(t+a)f(ta)]dt

积分中值定理,存在 ξ[a,a], 使得:

aa[f(t+a)f(ta)] dt=

[a(a)][f(ξ+a)f(ξa)]=

2a[f(ξ+a)f(ξa)]

又由拉格朗日中值定理, 存在 c(ξa,ξ+a), 使得:

f(ξ+a)f(ξa)(ξ+a)(ξa)=f(c)

f(ξ+a)f(ξa)=2af(c)

aa[f(t+a)f(ta)] dt=4a2f(c)

lima0+14a2aa[f(t+a)f(ta)] dt=

lima0+f(c)=limc0f(c)=f(0)

(2) 证明 |12aaaf(t)dtf(x)|Mm(a>0).

mf(x)M

2amaaf(x) dx2aM

(1)m12aaaf(x) dxm

又:

(2)Mf(x)m

联立 (1), (2) 可得:

(Mm)12aaaf(x) dxf(x)Mm

|12αaaf(x) dxf(x)|Mm(a>0)


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