高等数学定积分补充例题（三角代换、扩展的点火公式、区间再现、分部积分、sin 不够用 cos 来凑）

题目 07

若：

$$f(x)=x{\int }_1^x\frac{\sin t^2}{t}\mathrm{d}t$$

则：

$$I={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=?$$

解析 07

解题方法：变上限积分几乎一定会涉及求导，而分部积分中刚好有求导的步骤，因此，含有变上限积分的题目，通常需要先凑分部积分。

$${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x={xf(x)|}_0^1-{\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=-{\int }_0^{1}x[{\int }_1^x\frac{\sin t^2}{t}\mathrm{d}t+x\cdot \frac{\sin x^2}{x}]\mathrm{d}x$$

别忘了把括号外面的 “$x$” 乘进去：

$$I=-{\int }_0^1\left[x{\int }_1^x\frac{\sin t^2}{t}\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}x-{\int }_0^{1}x\sin x^2\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=-{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_0^{1}x\sin x^2\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}{\int }_0^1\sin x^2\mathrm{d}\left(x^2\right)\Rightarrow$$

$$I={\frac{+1}{4}\cos x^2|}_0^1=\frac{\cos 1-\cos 0}{4}\Rightarrow$$

$$I=\frac{\cos 1–1}{4}$$

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