复杂的式子先找共同点化简

一、题目

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x \mathrm{e}^{x}\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{2 x}}}{x^{4}}=?
$$

难度评级：

二、解析

化简

$$
\left(x e^{x}\right)^{2}=x^{2} e^{2 x} \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x e^{x}\right)-e^{\frac{-\left(x e^{x}\right)^{2}}{2}}}{x^{4}}=
$$

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x e^{x}\right)-e^{\frac{-\left(x e^{x}\right)^{2}}{2}}}{\left(x e^{x}\right)^{4}} \cdot\left(e^{4 x}\right) \Rightarrow
$$

$$
k=x e^{x} \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{k \rightarrow 0} \frac{\cos k-e^{\frac{-k^{2}}{2}}}{k^{4}} \cdot \lim \limits_{x \rightarrow 0} e^{4 x} \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{k \rightarrow 0} \frac{\cos k-e^{\frac{-k^{2}}{2}}}{k^{4}}
$$

方法一：洛必达法则

$$
I \Rightarrow \frac{1-1}{0} \Rightarrow \frac{0}{0} \Rightarrow \text{ 洛必达 } \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{k \rightarrow 0} \frac{-\sin k+k e^{\frac{-k^{2}}{2}}}{4 k^{3}} \Rightarrow \frac{0}{0} \Rightarrow \text{洛必达} \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{k \rightarrow 0} \frac{-\cos k + \textcolor{orangered}{ e^{\frac{-k^{2}}{2}} } – k^{2} e^{\frac{-k^{2}}{2}}}{12 k^{2}} \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{k \rightarrow 0} \frac{ \textcolor{springgreen}{ 1 } – \cos k+e^{\frac{-k^{2}}{2} } \textcolor{springgreen}{ – 1 } -k^{2} e^{\frac{-k^{2}}{2}}}{12 k^{2}} \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{k \rightarrow 0}\left[\frac{\textcolor{yellow}{ 1-\cos k } }{12 k^{2}}+\frac{e^{\frac{-k^{2}}{2}}-1}{12 k^{2}}-\frac{k^{2} e^{\frac{-k^{2}}{2}}}{12 k^{2}}\right] \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{k \rightarrow 0}\left[\frac{\textcolor{yellow}{ \frac{+1}{2} k^{2} }}{12 k^{2}}+\frac{\frac{-1}{2} k^{2}}{12 k^{2}}-\frac{e^{\frac{-k^{2}}{2}}}{12 k^{2}}\right] \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{+1}{24}-\frac{-1}{24}-\frac{1}{12}=\frac{-1}{12}
$$

方法二：泰勒公式

已知，$f(x)$ 在点 $x = 0$ 处展开的泰勒公式为：

$$
f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) \cdot x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{3 !} \cdot x^{3}
$$

$$
+\frac{f^{\prime \prime \prime \prime}(0)}{4 !} x^{4}+\cdots
$$

于是：

$$
\cos x=1+0-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{24} x^{4}
$$

$$
e^{x}=1+x+\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{6} x^{3}+\frac{1}{24} x^{4}
$$

因此：

$$
\cos k=1-\frac{1}{2} k^{2}+\frac{1}{24} k^{4}
$$

$$
e^{\frac{-k^{2}}{2}}=1+\left(\frac{-k^{2}}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{-k^{2}}{2}\right)^{2}+\cdots
$$

$$
\cos k-e^{\frac{-k^{2}}{2}}=
$$

$$
1-\frac{1}{2} k^{2}+\frac{1}{24} k^{4}-1+\frac{k^{2}}{2}-\frac{k^{4}}{8} \Rightarrow
$$

$$
\cos k-e^{\frac{-k^{2}}{2}}=\left(\frac{1}{24}-\frac{1}{8}\right) k^{4}=\frac{-2}{24} k^{4}=\frac{-1}{12} k^{4}
$$

综上可知：

$$
I=\frac{\frac{-1}{12} k^{4}}{k^{4}}=\frac{-1}{12}
$$

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