积分中值定理在二重积分中的应用

一、题目

已知，$g(x)$ 有连续的导数, $g(0)=0$, $g^{\prime}(0)=a \neq 0$, $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连
续，则 $\lim \limits_{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{x^{2}+y^{2} \leq r^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{g\left(r^{2}\right)}=?$

难度评级：

二、解析

根据积分中值定理，有：

$$
\iint_{x^{2}+y^{2} \leq r^{2}} f(x, y) \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y=\pi r^{2} f(\xi, \eta)
$$

$$
(\varepsilon, \eta) \in x^{2}+y^{2} \leq r^{2}
$$

又：

$$
\lim \limits_{r \rightarrow 0^{+}} f(\xi, \eta)=f(0,0)
$$

于是：

$$
\iint_{x^{2}+y^{2} \leq r^{2}} f(x, y) \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y=\pi r^{2} f(0,0)
$$

于是：

$$
\frac{ \iint_{x^{2}+y^{2} \leq r^{2}} f(x, y) \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y }{g(r^{2})} =
$$

$$
\frac{\pi r^{2} f(0,0)}{g\left(r^{2}\right)} \Rightarrow \text{ 洛必达运算 } \Rightarrow
$$

$$
\frac{\pi f(0,0) \cdot 2 r}{2 r \cdot g^{\prime}\left(r^{2}\right)}=\frac{\pi f(0,0)}{g^{\prime}\left(r^{2}\right)}=\frac{\pi f(0,0)}{a}
$$

---