积分中值定理在二重积分中的应用

一、题目

已知，$g(x)$ 有连续的导数, $g(0)=0$, $g^{\prime }(0)=a\ne 0$, $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连
续，则 $\underset{r\to 0^{+}}{lim}\frac{{\iint }_{x^2+y^2\le r^2}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{g\left(r^2\right)}=?$

难度评级：

二、解析

根据积分中值定理，有：

$${\iint }_{x^2+y^2\le r^2}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pi r^{2}f(\xi ,\eta )$$

$$(\epsilon ,\eta )\in x^2+y^2\le r^2$$

又：

$$\underset{r\to 0^{+}}{lim}f(\xi ,\eta )=f(0,0)$$

于是：

$${\iint }_{x^2+y^2\le r^2}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pi r^{2}f(0,0)$$

于是：

$$\frac{{\iint }_{x^2+y^2\le r^2}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{g(r^2)}=$$

$$\frac{\pi r^{2}f(0,0)}{g\left(r^2\right)}\Rightarrow \text{ 洛必达运算 }\Rightarrow$$

$$\frac{\pi f(0,0)\cdot 2r}{2r\cdot g^{\prime }\left(r^2\right)}=\frac{\pi f(0,0)}{g^{\prime }\left(r^2\right)}=\frac{\pi f(0,0)}{a}$$

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