如果一个函数存在原函数，那么这个原函数一定是连续的

一、题目

写出函数 $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},& x\le 0,\\ (x+1)\cos x,& x>0\end{array}$ 的原函数。

难度评级：

二、解析

已知，$C_1$ 和 $C_2$ 为常数，则由于：

$$[(x+1)\sin x+\cos x+C_1{]}^{\prime }=$$

$$\sin x+(x+1)\cos x–\sin x=(x+1)\cos x$$

且：

$$[\ln (\sqrt{1+x^2}+x)+C_2{]}^{\prime }=$$

$$\frac{\frac{1}{2}{(1+x^2)}^{\frac{-1}{2}}\cdot 2x+1}{{(1+x^2)}^{\frac{1}{2}}+x}=$$

$$\frac{\frac{x}{{(1+x^2)}^{\frac{1}{2}}}+1}{{(1+x^2)}^{\frac{1}{2}}+x}=$$

$$\frac{x+{(1+x^2)}^{\frac{1}{2}}}{{(1+x^2)}^{\frac{1}{2}}}\times \frac{1}{{(1+x^2)}^{\frac{1}{2}}+x}=\frac{1}{{(1+x^2)}^{\frac{1}{2}}}$$

又：

$$\underset{x\to 0}{lim}[\sin x+\cos x+C_1]=1+C_1$$

$$\underset{x\to 0}{lim}[\ln (\sqrt{1+x^2}+x)+C_2]=C_2$$

因此：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}\ln (\sqrt{1+x^2}+x)+1+C_1,& x\le 0,\\ (x+1)\sin x+\cos x+C_2,& x>0.\end{array}$$

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