如果一个函数存在原函数,那么这个原函数一定是连续的

一、题目题目 - 荒原之梦

写出函数 f(x)={11+x2,x0,(x+1)cosx,x>0 的原函数。

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

已知,C1C2 为常数,则由于:

[(x+1)sinx+cosx+C1]=

sinx+(x+1)cosxsinx=(x+1)cosx

且:

[ln(1+x2+x)+C2]=

12(1+x2)122x+1(1+x2)12+x=

x(1+x2)12+1(1+x2)12+x=

x+(1+x2)12(1+x2)12×1(1+x2)12+x=1(1+x2)12

又:

limx0[sinx+cosx+C1]=1+C1

limx0[ln(1+x2+x)+C2]=C2

因此:

F(x)={ln(1+x2+x)+1+C1,x0,(x+1)sinx+cosx+C2,x>0.


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