如果一个函数存在原函数，那么这个原函数一定是连续的

一、题目

写出函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}, & x \leq 0, \\ (x+1) \cos x, & x>0\end{array}\right.$ 的原函数。

难度评级：

二、解析

已知，$C_{1}$ 和 $C_{2}$ 为常数，则由于：

$$
[ \textcolor{orange}{(x+1) \sin x+\cos x + C_{1} } ]^{\prime} =
$$

$$
\sin x + (x+1) \cos x – \sin x = \textcolor{orange}{ (x+1) \cos x }
$$

且：

$$
\Big[ \textcolor{orange}{ \ln \left(\sqrt{1+x^{2}}+x\right)+C_{2} } \Big]^{\prime} =
$$

$$
\frac{\frac{1}{2}\left(1+x^{2}\right)^{\frac{-1}{2}} \cdot 2 x+1}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}+x}=
$$

$$
\frac{\frac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}+1}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}+x}=
$$

$$
\frac{x+\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \times \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}+x} = \textcolor{orange}{ \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} }
$$

又：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} [ \sin x+\cos x + C_{1} ] = 1 + C_{1}
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \Big[ \ln \left(\sqrt{1+x^{2}}+x\right)+C_{2} \Big] = C_{2}
$$

因此：

$$
F(x)=\left\{\begin{array}{ll}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}+x\right)+ \textcolor{springgreen}{1} + C_{1}, & x \leq 0, \\ (x+1) \sin x+\cos x + C_{2}, & x>0 .\end{array}\right.
$$

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