函数斜渐近线的方程一定需要分正负无穷大分别讨论吗？

一、题目

曲线 $y$ $=$ $x\ln (\mathrm{e}+\frac{1}{x-1})$ 的斜渐近线方程是多少？

难度评级：

二、解析

Tips:

在求解斜渐近线的时候，如果 $x\to +\mathrm{\infty }$ 和 $x\to –\mathrm{\infty }$ 对式子结果的影响是一样的，那么，我们就可以只考虑 $x\to \mathrm{\infty }$ 的情况。

例如，若 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时会产生 $0^{+}$, $x\to –\mathrm{\infty }$ 时会产生 $0^{-}$, 且式子中仅存在对 $0^{+}$ 和 $0^{-}$ 的加减运算，那么，其作用和加减 $0$ 并无区别，这时候，就可以只考虑 $x\to \mathrm{\infty }$.

要求解斜渐近线，就是要求解出下面表达式中的 $k$ 和 $b$:

$$y=kx+b$$

于是：

$$y=x\ln (e+\frac{1}{x-1})\Rightarrow$$

$$\mathbf{k}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\ln (e+\frac{1}{x-1})=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\ln (e+\frac{1}{x})={\log }_e^e=1$$

接着：

$$\mathbf{b}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{k}\mathbf{x})=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(y-x)=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[x\ln (e+\frac{1}{x-1})-x]=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x[\ln (e+\frac{1}{x-1})-1]=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (e+\frac{1}{x-1})-1}{\frac{1}{x}}\Rightarrow \text{ 洛必达运算 }\Rightarrow$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[\frac{\frac{-1}{(x-1{)}^2}}{e+\frac{1}{x-1}}/\frac{-1}{x^2}\right]=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{(x-1{)}^2(e+\frac{1}{x-1})}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{x^2(e+\frac{1}{x-1})}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{e+\frac{1}{x-1}}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{e+\frac{1}{x}}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{e+0}=\frac{1}{e}$$

综上可知，斜渐近线为：

$$y=kx+b=x+\frac{1}{e}$$

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