罗尔配拉格：罗尔定理是拉格朗日中值定理的前奏

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 二阶可导，且 $f(a)=f(b)$, $f^{\prime }(x)$ 在 $[a,b)$ 连续, $f_{+}^{\prime }(a)<0$, 则，是否 $\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$, 使得 $f^{\prime \prime }(\xi )>0$ 成立？

难度评级：

二、解析

方法一：绘图法

我们可以根据题目信息，绘制出如下符合已知条件的函数图像，由于该函数是凹函数，因此，其二阶导函数一定大于零：

方法二：特例法

令：

$$f(x)=-x(1-x),x\in [0,1]$$

则：

$$f^{\prime }(x)=-[(1-x)-x]=x-1+x=2x-1$$

满足：

$$f_{+}^{\prime }(0)=-1<0$$

且：

$$f^{\prime \prime }(x)=2>0$$

于是得证。

方法三：罗尔定理+拉格朗日中值定理

根据罗尔定理：

$$\mathrm{\exists }\eta \in (a,b)\Rightarrow f^{\prime }(\eta )=0$$

于是，根据拉格朗日中值定理：

$$\frac{f_{+}^{\prime }(a)-f^{\prime }(\eta )}{a-\eta }=f^{\prime \prime }(\xi ),\xi \in (a,\eta )\in (a,b)$$

又：

$$f_{+}^{\prime }(a)-f^{\prime }(\eta )=f_{+}^{\prime }(a)<0$$

且：

$$a<\eta \Rightarrow a-\eta <0$$

因此：

$$f^{\prime \prime }(\xi )>0,\xi \in (a,b)$$

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