再复杂的零点个数问题也有简单的思路：利用一阶导函数和关键点的函数值确定函数图像的大致走向并判断函数与 X 轴的交点个数

一、题目

已知常数 $0 < b < \frac{1}{e}$ , $f (x) = \ln x - x^{b}$ , 则 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 区间内的零点个数是多少？

难度评级：

求一阶导：

$f (x) = \ln x - x^{b} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{x} - b x^{b - 1} \Rightarrow$

由于位于分母上的 $x$ 不能等于零，因此，先提取出来 $\frac{1}{x}$ , 以便于后面的计算：

$\frac{1}{x} (1 - b x^{b}) =$

$\frac{b}{x} (\frac{1}{b} - x^{b})$

求解一阶导等于零的点：

$f^{'} (x_{0}) = 0 \Rightarrow \frac{b}{x_{0}} (\frac{1}{b} - x_{0}^{b}) = 0 \Rightarrow$

$\frac{1}{b} - x_{0}^{b} = 0 \Rightarrow \frac{1}{b} = x_{0}^{b} \Rightarrow x_{0} = {(\frac{1}{b})}^{\frac{1}{b}}$

于是可知：

$f^{'} (x) \Leftrightarrow {\begin{cases} f^{'} (x) > 0, 0 < x < x_{0} \\ f^{'} (x) = 0, x = x_{0} \\ f^{'} (x) < 0, x > x_{0} \end{cases}$

接着，判断当 $x = x_{0}$ 时，函数 $f (x)$ 的正负性：

$f^{'} (x_{0}) = \ln x_{0} - x_{0}^{b} = \log_{e}^{{(\frac{1}{b})}^{\frac{1}{b}}} - \frac{1}{b} =$

$\frac{1}{b} \ln \frac{1}{b} - \frac{1}{b} \Rightarrow 0 < b < \frac{1}{e} \Rightarrow$

$\frac{1}{b} > e \Rightarrow \ln \frac{1}{b} > 1 \Rightarrow \frac{1}{b} \ln \frac{1}{b} - \frac{1}{b} > 0$

$f (x_{0}) > 0$

判断函数 $f (x)$ 在端点附近的正负性：

$lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} (\ln x - x^{b}) = - \infty$

$lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to + \infty} (\ln x - x^{b}) =$

$lim_{x \to + \infty} x^{b} (\frac{\ln x}{x^{b}} - 1) = lim_{x \to + \infty} x^{b} (\frac{x^{- 1}}{b x^{b - 1}} - 1) =$

$lim_{x \to + \infty} x^{b} (\frac{1}{b} \cdot \frac{1}{x^{b}} - 1) = lim_{x \to + \infty} - x^{b} = - \infty$

综上可知，函数 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上与 $X$ 轴有两个交点，因此存在两个零点。