再复杂的零点个数问题也有简单的思路：利用一阶导函数和关键点的函数值确定函数图像的大致走向并判断函数与 X 轴的交点个数

一、题目

已知常数 $0<b<\frac{1}{\mathrm{e}}$, $f(x)=\ln x-x^{b}$, 则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 区间内的零点个数是多少？

难度评级：

二、解析

求一阶导：

$$
f(x)=\ln x-x^{b} \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-b x^{b-1} \Rightarrow
$$

由于位于分母上的 $x$ 不能等于零，因此，先提取出来 $\frac{1}{x}$, 以便于后面的计算：

$$
\frac{1}{x}\left(1-b x^{b}\right)=
$$

$$
\frac{b}{x}\left(\frac{1}{b}-x^{b}\right)
$$

求解一阶导等于零的点：

$$
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 \Rightarrow \frac{b}{x_{0}}\left(\frac{1}{b}-x_{0}^{b}\right)=0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{b}-x_{0}^{b}=0 \Rightarrow \frac{1}{b}=x_{0}^{b} \Rightarrow x_{0}=\left(\frac{1}{b}\right)^{\frac{1}{b}}
$$

于是可知：

$$
\textcolor{orange}{
f^{\prime}(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(x) > 0, \ 0
< x
< x_{0} \\ f^{\prime}(x)=0, \ x=x_{0} \\ f^{\prime}(x)
< 0, \ x > x_{0}\end{array}\right.
}
$$

接着，判断当 $x = x_{0}$ 时，函数 $f(x)$ 的正负性：

$$
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\ln x_{0}-x_{0}^{b}=\log _{e}^{\left(\frac{1}{b}\right)^{\frac{1}{b}}}-\frac{1}{b}=
$$

$$
\frac{1}{b} \ln \frac{1}{b}-\frac{1}{b} \Rightarrow 0<b<\frac{1}{e} \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{b}>e \Rightarrow \ln \frac{1}{b}>1 \Rightarrow \frac{1}{b} \ln \frac{1}{b}-\frac{1}{b}>0
$$

$$
\textcolor{orange}{
f\left(x_{0}\right)>0
}
$$

判断函数 $f(x)$ 在端点附近的正负性：

$$
\textcolor{orange}{\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) }=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}\left(\ln x-x^{b}\right)= \textcolor{orange}{-\infty}
$$

$$
\textcolor{orange}{\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x) }=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\ln x-x^{b}\right)=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{b}\left(\frac{\ln x}{x^{b}}-1\right)=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{b}\left(\frac{x^{-1}}{b x^{b-1}}-1\right)=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{b}\left(\frac{1}{b} \cdot \frac{1}{x^{b}}-1\right)=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}-x^{b}= \textcolor{orange}{-\infty }
$$

综上可知，函数 $f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上与 $X$ 轴有两个交点，因此存在两个零点。

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