偏导数连续则可微，但可微不意味着偏导数一定连续

一、题目

函数 $f(x, y)$ 的两个偏导数在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $f(x, y)$ 在该点处可微的充要条件吗？

难度评级：

二、解析

由来自《彻底搞明白一元和二元函数中可微、可（偏）导、连续与极限存在之间的关系》这篇文章中的下面这幅关系图可知，由偏导数连续能推出可微，但由可微推不出偏导数连续：

这是因为，偏导数存在且在指定点处连续就意味着该点处的所有切线都在一个平面上，这个平面就是可微形成的切平面。

但是，由可微我们只能知道切平面一定存在且唯一，由此可知，所有的切线都在该切平面上，但是，由《要让一点处导数存在只需要有“两个点”，但若要导数在一点处连续需要有“无数个致密的点”》这篇文章可知，有切线虽然意味着可偏导，但可偏导并不意味着偏导数连续。

注意 ：偏导数在指定点处连续意味着可微，但如果偏导数在指定点处不连续，并不意味着一定不可微（当然也不意味着一定可微）——若偏导数在指定点处不连续，则函数在该点处的可微性不能仅仅依靠偏导数的连续性判断出来。

---