这一道题几乎把所有关于矩阵相似对角化的知识都考察到了

一、题目

下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是哪一个矩阵：

(A) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ -1 & 3 & 5\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ -1 & 5 & -1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$

难度评级：

由《什么样的矩阵一定可以相似对角化》这篇文章可知，像 $A$ 选项这样的实对称矩阵一定可以相似对角化。

由《什么情况下主对角线上的元素就是矩阵的特征值》这篇文章可知，$B$ 选项的矩阵为下三角矩阵，则其主对角线上的元素就是其特征值，而其主对角线上的元素各不相等，于是可知，$B$ 选项中的矩阵一定可以相似对角化。

由《秩为 1 的矩阵的一些性质》可知，$C$ 选项中的矩阵秩为 $1$, 因此，根据 $Ax = 0$ $\Rightarrow$ $Ax = 0 \cdot x$ 可知，$\lambda = 0$ 是该矩阵的一个特征值，且该特征值有两个线性无关的特征向量（$Ax = 0$ 有两个自由未知数）——

于是，$\lambda = 0$ 至少是该矩阵的二重特征值（也可能是三重特征值）——

但由于该矩阵主对角线元素之和为 $1 + 0 + 3 = 4 \neq 0$, 因此，$\lambda = 0$ 一定是该矩阵的二重特征值，且对应存在两个线性无关的特征向量，因此，该矩阵一定可以相似对角化。

$D$ 选项中的矩阵为上三角矩阵，所以其主对角线上的元素就是其特征值：

$$
1, 1, -1
$$

于是可知，该矩阵存在二重特征值 $\lambda = 1$.

那么，接下来的重点就是确定这个二重特征值是否对应着至少两个线性无关的特征向量。

又：

$$
\lambda E – A \Rightarrow \lambda = 1 \Rightarrow
$$

$$
E – A =
$$

$$
\begin{bmatrix}
0 & -2 & -3 \\
0 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} =
$$

$$
\begin{bmatrix}
0 & -2 & -3 \\
0 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \Rightarrow
$$

$$
r(E – A) = 2
$$

因此，$D$ 选项所给的矩阵，当特征值 $\lambda = 1$ 时，只有 $3 – 2 = 1$ 个自由未知数，也就对应着一个线性无关的解向量，因此，该矩阵不可以相似对角化。