当一个函数既没有极大值也没有极小值还有等于零的值时就一定恒等于零

一、题目

已知 $y(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导，满足 $y(a)=y(b)=0$ 且 $y^{\prime \prime }(x)+cy(x)=0$ $(x\in (a$, $b))$, 其中 $c$ 为小于零的常数，则 $y(x)$ 在 $(a,b)$ 内恒等于零吗？

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二、解析

$$y^{\prime \prime }(x)+cy(x)=0\Rightarrow y^{\prime \prime }(x)=-cy(x)$$

情况一：

$$y^{\prime \prime }(x)>0\Rightarrow y(x)\text{ 的最小值为负 }\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }(x)<0\Rightarrow \text{与}{y}^{\prime \prime }(x)>0\text{矛盾}$$

情况二：

$$y^{\prime \prime }(x)<0\Rightarrow y(x)\text{ 最大值为正 }\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }(x)>0\Rightarrow \text{与}{y}^{\prime \prime }(x)<0\text{矛盾}$$

于是，$y(x)$ 在 $(a,b)$ 内既没有最大值也没有最小值，只能是一个恒定值：

$$y(x)=K$$

又：

$$y(a)=y(b)=0$$

因此：

$$K=0$$

于是可知，$y(x)$ 在 $(a,b)$ 内恒为 $0$.

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