应用 “化整为零”解题思想的一个例题

一、题目

已知，常数 $A, B$ 可使不等式 $\frac{B}{\sqrt{x}} \leqslant \ln x \leqslant A \sqrt{x}$, $x \in(0,+\infty)$ 恒成立，则 $A$ 的最小值和 $B$ 的最大值分别是多少？

难度评级：

二、解析

首先，化整为零：

$$
\frac{B}{\sqrt{x}} \leqslant \ln x \leqslant A \sqrt{x} \Rightarrow
$$

$$
\frac{B}{\sqrt{x}} \leqslant \ln x \Rightarrow B \leqslant \sqrt{x} \ln x \Rightarrow f(x)=\sqrt{x} \ln x
$$

于是可知，$f(x)$ 的最小值就是 $B$.

$$
\ln x \leqslant A \sqrt{x} \Rightarrow \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \leqslant A \Rightarrow g(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}} \Rightarrow
$$

于是可知，$f(x)$ 的最大值就是 $A$.

接着：

$$
f^{\prime}(x)=\frac{1}{2} x^{\frac{-1}{2}} \ln x+\frac{\sqrt{x}}{x} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=\frac{\ln x}{2 \sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{x \ln x+2 x}{2 x \sqrt{x}} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=\frac{\ln x+2}{2 \sqrt{x}} \Rightarrow f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow
$$

$$
\ln x=-2 \Rightarrow \log _{e}^{x}=-2 \Rightarrow x=e^{-2} \Rightarrow
$$

$$
x \in\left(0, e^{-2}\right) \Rightarrow f^{\prime}(x)<0
$$

$$
x \in\left(e^{-2},+\infty\right) \Rightarrow f^{\prime}(x)>0
$$

$$
x=e^{-2} \Rightarrow f(x)=\sqrt{x} \ln x=\sqrt{\frac{1}{e^{2}}} \cdot(-2)=\frac{-2}{e}=B
$$

又：

$$
g^{\prime}(x)=\frac{\frac{-1}{x} x}{x} \Rightarrow
$$

$$
g^{\prime}(x)=\frac{2-\ln x}{2 x \sqrt{x}} \Rightarrow g^{\prime}(x)=0 \Rightarrow \ln x=2 \Rightarrow
$$

$$
\log _{e}^{x}=2 \Rightarrow x=e^{2} \Rightarrow
$$

$$
x \in\left(0, e^{2}\right) \Rightarrow g^{\prime}(x)>0
$$

$$
x \in\left(e^{2},+\infty\right) \Rightarrow g^{\prime}(x)<0
$$

$$
x=e^{2} \Rightarrow g(x)=\frac{2}{e}=A
$$

综上可知，$A$ 的最小值是 $\frac{2}{3}$, $B$ 的最大值是 $\frac{-2}{e}$.

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