确定一点处是否可导？直接用一点处导数的定义试试看吧！

一、题目

下列函数中在 $x=0$ 处可导的是哪个或哪些？

(1) $f(x)=\cos x^{\frac{2}{3}}$;

(2) $f(x)=\sin x^{\frac{2}{3}}$;

(3) $f(x)=(1-\cos x{)}^{\frac{2}{3}}$;

(4) $f(x)={(\sin x^2)}^{\frac{1}{3}}$.

难度评级：

二、解析

(1):

$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos x^{\frac{2}{3}}-1}{x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{-\frac{1}{2}{\left(x^{\frac{2}{3}}\right)}^2}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{-1}{2}{x}^{\frac{1}{3}}=0\Rightarrow \mathrm{可}\mathrm{导}$$

(2):

$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x^{\frac{2}{3}}-0}{x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x}=\underset{x\to 0}{lim}{x}^{\frac{-1}{3}}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}=\mathrm{\infty }\Rightarrow \mathrm{不}\mathrm{可}\mathrm{导}$$

(3):

$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{(1-\cos x{)}^{\frac{2}{3}}-0}{x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{2}{\left(x^2\right)}^{\frac{2}{3}}}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{3}}=0\Rightarrow \mathrm{可}\mathrm{导}$$

(4):

$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{(\sin x^2)}^{\frac{1}{3}}-0}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}{x}^{\frac{-1}{3}}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}=\mathrm{\infty }\Rightarrow \mathrm{不}\mathrm{可}\mathrm{导}$$

综上，可导的是 (1) 和 (3).

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